ГДЗ: Упражнение 521 - § 30 (Синус, косинус и тангенс половинного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Преобразуем подкоренные выражения, используя формулы: \( 1 = \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \) и \( \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).

• Шаг 1: Преобразуем подкоренные выражения к полному квадрату.

\( 1 + \sin \alpha = \left(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2 \)

\( 1 - \sin \alpha = \left(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2 \)

• Шаг 2: Заменим в ЛЧ. Учтем условие \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), откуда \( 0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4} \). В этом интервале \( \cos \frac{\alpha}{2} > \sin \frac{\alpha}{2} > 0 \).

  \( \text{ЛЧ} = \left|\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right| - \left|\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}\right| \)

• Шаг 3: Раскроем модули (оба выражения положительны).

\( \text{ЛЧ} = \left(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}\right) \)

• Шаг 4: Упростим.

\( \text{ЛЧ} = \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \sin \frac{\alpha}{2} = \text{ПЧ} \)

Тождество доказано.