Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 30 / Задание 514

ГДЗ: Упражнение 514 - § 30 (Синус, косинус и тангенс половинного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 152, 154, 155
Глава: Глава 5
Параграф: § 30 - Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

514 упражнение:

Найти числовое значение выражения:

1) \( 2 \cos^2 \frac{\pi}{8} - 1 \)

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \).

  • Шаг 1: Применим формулу, где \( \alpha = \frac{\pi}{8} \).

    • \( 2 \cos^2 \frac{\pi}{8} - 1 = \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{4} \)

  • Шаг 2: Найдем табличное значение.

    • \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

2) \( 1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{12} \)

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \).

  • Шаг 1: Применим формулу, где \( \alpha = \frac{\pi}{12} \).

    • \( 1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{12} = \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \cos \frac{\pi}{6} \)

  • Шаг 2: Найдем табличное значение.

    • \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

3) \( \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin^2 15^\circ \)

Используем формулу понижения степени: \( 2 \sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha \).

  • Шаг 1: Заменим \( 2 \sin^2 15^\circ \). \( 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ \).

    • \( 2 \sin^2 15^\circ = 1 - \cos 30^\circ \)

  • Шаг 2: Подставим в исходное выражение.

    • \( \frac{\sqrt{3}}{2} + (1 - \cos 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \)

  • Шаг 3: Упростим.

    • \( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 \)

Ответ: \( 1 \).

4) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cos^2 15^\circ \)

Используем формулу понижения степени: \( 2 \cos^2 \alpha = 1 + \cos 2\alpha \).

  • Шаг 1: Заменим \( 2 \cos^2 15^\circ \). \( 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ \).

    • \( 2 \cos^2 15^\circ = 1 + \cos 30^\circ \)

  • Шаг 2: Подставим в исходное выражение.

    • \( -\frac{\sqrt{3}}{2} + (1 + \cos 30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \)

  • Шаг 3: Упростим.

    • \( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 \)

Ответ: \( 1 \).

Что применять при решении

Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)
Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)
Формулы синуса и косинуса половинного угла
Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
Формулы тангенса половинного угла
Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 30

513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.