Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 30 / Задание 522

ГДЗ: Упражнение 522 - § 30 (Синус, косинус и тангенс половинного угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 152, 154, 155
Глава: Глава 5
Параграф: § 30 - Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

522 упражнение:

Упростить выражение \( \frac{\operatorname{tg} 2\alpha}{\operatorname{tg} 4\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha} \).

1)

Используем формулу тангенса двойного угла: \( \operatorname{tg} 2x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} \). Применим ее для \( \operatorname{tg} 4\alpha \): \( \operatorname{tg} 4\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} 2\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha} \).

  • Шаг 1: Преобразуем знаменатель (З).

    • \( \text{З} = \operatorname{tg} 4\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} 2\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha} - \operatorname{tg} 2\alpha \)

  • Шаг 2: Приведем к общему знаменателю.

    • \( \text{З} = \frac{2 \operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha (1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha} = \frac{\operatorname{tg} 2\alpha + \operatorname{tg}^3 2\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha} \)

  • Шаг 3: Вынесем \( \operatorname{tg} 2\alpha \) в числителе З.

    • \( \text{З} = \frac{\operatorname{tg} 2\alpha (1 + \operatorname{tg}^2 2\alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha} \)

  • Шаг 4: Разделим числитель \( \operatorname{tg} 2\alpha \) на З.

    • \( \frac{\operatorname{tg} 2\alpha}{\text{З}} = \operatorname{tg} 2\alpha \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha}{\operatorname{tg} 2\alpha (1 + \operatorname{tg}^2 2\alpha)} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 2\alpha} \)

  • Шаг 5: Применим формулу косинуса двойного угла через тангенс: \( \cos 2x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} \). Здесь \( x = 2\alpha \).

    • \( \frac{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 2\alpha} = \cos (2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha \)

Ответ: \( \cos 4\alpha \).

Что применять при решении

Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)
Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)
Формулы синуса и косинуса половинного угла
Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
Формулы тангенса половинного угла
Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 30

513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.