ГДЗ: Упражнение 548 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Выделение целого числа оборотов.

\n
• Разделим \( 47 \) на \( 6 \): \( 47 = 7 \cdot 6 + 5 \).
\n
• Тогда \( \frac{47\pi}{6} = \frac{42\pi + 5\pi}{6} = 7\pi + \frac{5\pi}{6} \).
\n
• Поскольку \( 7\pi = 6\pi + \pi \) и \( 6\pi \) — это 3 полных оборота, имеем: \( \sin \frac{47\pi}{6} = \sin \left( 7\pi + \frac{5\pi}{6} \right) = \sin \left( \pi + 6\pi + \frac{5\pi}{6} \right) \).
\n

Шаг 2: Использование свойства периодичности и формулы приведения.

\n
• Период функции синус равен \( 2\pi \). \( 6\pi \) можно отбросить: \( \sin \left( 7\pi + \frac{5\pi}{6} \right) = \sin \left( \pi + \frac{5\pi}{6} \right) \).
\n
• Применим формулу приведения \( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \):
\n
• \( \sin \left( \pi + \frac{5\pi}{6} \right) = -\sin \frac{5\pi}{6} \).
\n

Шаг 3: Преобразование \( \sin \frac{5\pi}{6} \).

\n
• \( \frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} \).
\n
• \( -\sin \frac{5\pi}{6} = -\sin \left( \pi - \frac{\pi}{6} \right) \).
\n
• Применим формулу приведения \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \): \( -\sin \left( \pi - \frac{\pi}{6} \right) = -\sin \frac{\pi}{6} \).
\n

Шаг 4: Вычисление.

\n
• Известно, что \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
\n
• Следовательно, \( -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} \).
\n

Ответ: \( -\frac{1}{2} \).

Шаг 1: Выделение целого числа оборотов.

\n
• Разделим \( 25 \) на \( 4 \): \( 25 = 6 \cdot 4 + 1 \).
\n
• Тогда \( \frac{25\pi}{4} = \frac{24\pi + \pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4} \).
\n

Шаг 2: Использование свойства периодичности.

\n
• Период функции тангенс равен \( \pi \). \( 6\pi \) — это 6 периодов, их можно отбросить:
\n
• \( \operatorname{tg} \frac{25\pi}{4} = \operatorname{tg} \left( 6\pi + \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \).
\n

Шаг 3: Вычисление.

\n
• Известно, что \( \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1 \).
\n

Ответ: \( 1 \).

Шаг 1: Выделение целого числа оборотов.

\n
• Разделим \( 27 \) на \( 4 \): \( 27 = 6 \cdot 4 + 3 \).
\n
• Тогда \( \frac{27\pi}{4} = \frac{24\pi + 3\pi}{4} = 6\pi + \frac{3\pi}{4} \).
\n

Шаг 2: Использование свойства периодичности.

\n
• Период функции котангенс равен \( \pi \). \( 6\pi \) можно отбросить:
\n
• \( \operatorname{ctg} \frac{27\pi}{4} = \operatorname{ctg} \left( 6\pi + \frac{3\pi}{4} \right) = \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} \).
\n

Шаг 3: Использование формулы приведения.

\n
• \( \frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} \).
\n
• \( \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = \operatorname{ctg} \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right) \).
\n
• Применим формулу приведения \( \operatorname{ctg} (\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg} \alpha \): \( -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} \).
\n

Шаг 4: Вычисление.

\n
• Известно, что \( \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1 \).
\n
• Следовательно, \( -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1 \).
\n

Ответ: \( -1 \).

Шаг 1: Выделение целого числа оборотов.

\n
• Разделим \( 21 \) на \( 4 \): \( 21 = 5 \cdot 4 + 1 \).
\n
• Тогда \( \frac{21\pi}{4} = \frac{20\pi + \pi}{4} = 5\pi + \frac{\pi}{4} \).
\n

Шаг 2: Использование свойства периодичности и формулы приведения.

\n
• Период функции косинус равен \( 2\pi \). \( 5\pi = 4\pi + \pi \) (\( 4\pi \) можно отбросить):
\n
• \( \cos \frac{21\pi}{4} = \cos \left( 5\pi + \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) \).
\n
• Применим формулу приведения \( \cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha \):
\n
• \( \cos \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) = -\cos \frac{\pi}{4} \).
\n

Шаг 3: Вычисление.

\n
• Известно, что \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
\n
• Следовательно, \( -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
\n

Ответ: \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).