ГДЗ: Упражнение 559 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразование числителя (Ч).

\n
• Применим формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \).
\n
• \( \text{Ч} = 1 - \cos \alpha + (2 \cos^2 \alpha - 1) = 2 \cos^2 \alpha - \cos \alpha \).
\n
• Вынесем \( \cos \alpha \): \( \text{Ч} = \cos \alpha (2 \cos \alpha - 1) \).
\n

Шаг 2: Преобразование знаменателя (З).

\n
• Применим формулу синуса двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
\n
• \( \text{З} = 2 \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \).
\n
• Вынесем \( \sin \alpha \): \( \text{З} = \sin \alpha (2 \cos \alpha - 1) \).
\n

Шаг 3: Сборка и упрощение.

\n
• Левая часть: \( \frac{\cos \alpha (2 \cos \alpha - 1)}{\sin \alpha (2 \cos \alpha - 1)} \).
\n
• Сократим \( 2 \cos \alpha - 1 \) (при условии \( 2 \cos \alpha - 1 \neq 0 \)): \( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).
\n
• \( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha \).
\n

Шаг 4: Сравнение с правой частью (ПЧ).

\n
• Левая часть равна правой части.
\n

Вывод: Тождество доказано.

Шаг 1: Преобразование числителя (Ч).

\n
• Применим формулу синуса двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
\n
• \( \text{Ч} = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
\n
• Вынесем \( \sin \alpha \): \( \text{Ч} = \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha) \).
\n

Шаг 2: Преобразование знаменателя (З).

\n
• Применим формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \).
\n
• \( \text{З} = 1 + \cos \alpha + (2 \cos^2 \alpha - 1) = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha \).
\n
• Вынесем \( \cos \alpha \): \( \text{З} = \cos \alpha (1 + 2 \cos \alpha) \).
\n

Шаг 3: Сборка и упрощение.

\n
• Левая часть: \( \frac{\sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha)}{\cos \alpha (1 + 2 \cos \alpha)} \).
\n
• Сократим \( 1 + 2 \cos \alpha \) (при условии \( 1 + 2 \cos \alpha \neq 0 \)): \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha \).
\n

Шаг 4: Сравнение с правой частью (ПЧ).

\n
• Получили \( \operatorname{tg} \alpha \). Правая часть: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \). Тождество неверно.
\n

Шаг 5: Предположение опечатки.

\n
• Если бы знаменатель был \( 1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha \) и ответ \( \operatorname{tg} \alpha \), то тождество было бы верным: \( \frac{\sin \alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha \).
\n
• Если бы числитель был \( \sin \alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin \frac{3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \) и знаменатель \( 1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos \frac{3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).
\n
• Если бы числитель был \( \sin \alpha + \sin 2\alpha = \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha) \) и знаменатель \( 1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha = \cos \alpha (1 + 2 \cos \alpha) \).
\n

Придерживаемся Шага 3, так как упрощение ЛЧ: \( \operatorname{tg} \alpha \).

Ответ: Упрощенное выражение ЛЧ: \( \operatorname{tg} \alpha \). Тождество, как написано, неверно.