ГДЗ: Упражнение 565 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Разделение числителя и знаменателя на \( \cos^3 \alpha \).

\n
• Разделим числитель и знаменатель на \( \cos^3 \alpha \) (при условии \( \cos \alpha \neq 0 \)).
\n
• \( \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha}}{\frac{\sin^3 \alpha}{\cos^3 \alpha} + \frac{3 \cos^3 \alpha}{\cos^3 \alpha}} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}}{\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^3 + 3} \).
\n

Шаг 2: Выражение через \( \operatorname{tg} \alpha \).

\n
• Используем \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha \) и \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha \) (основное тригонометрическое тождество, разделенное на \( \cos^2 \alpha \)).
\n
• Выражение: \( \frac{\operatorname{tg} \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)}{\operatorname{tg}^3 \alpha + 3} \).
\n

Шаг 3: Подстановка значения \( \operatorname{tg} \alpha = 2 \).

\n
• \( \frac{2 (1 + 2^2)}{2^3 + 3} = \frac{2 (1 + 4)}{8 + 3} = \frac{2 \cdot 5}{11} = \frac{10}{11} \).
\n

Ответ: \( \frac{10}{11} \).