Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 5 / Задание 552

ГДЗ: Упражнение 552 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 164, 165, 166, 167
Глава: Глава 5
Параграф: Глава 5 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

552 упражнение:

Доказать тождество:

1) \( 1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta = \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \).

Шаг 1: Преобразование левой части (ЛЧ).

\n
    \n
  • Запишем \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{tg} \beta \) через синусы и косинусы:
    • \n
  • \( \text{ЛЧ} = 1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \).
    • \n
\n

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю.

\n
    \n
  • Общий знаменатель: \( \cos \alpha \cos \beta \).
    • \n
  • \( \text{ЛЧ} = \frac{\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} \).
    • \n
\n

Шаг 3: Применение формулы косинуса разности.

\n
    \n
  • Формула косинуса разности: \( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \).
    • \n
  • Подставим в числитель: \( \text{ЛЧ} = \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \).
    • \n
\n

Шаг 4: Сравнение с правой частью (ПЧ).

\n
    \n
  • Полученное выражение совпадает с правой частью: \( \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} = \text{ПЧ} \).
    • \n
\n

Вывод: Тождество доказано.

2) \( \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \).

Шаг 1: Преобразование левой части (ЛЧ).

\n
    \n
  • Запишем \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{tg} \beta \) через синусы и косинусы:
    • \n
  • \( \text{ЛЧ} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \).
    • \n
\n

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю.

\n
    \n
  • Общий знаменатель: \( \cos \alpha \cos \beta \).
    • \n
  • \( \text{ЛЧ} = \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} \).
    • \n
\n

Шаг 3: Применение формулы синуса разности.

\n
    \n
  • Формула синуса разности: \( \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \).
    • \n
  • Подставим в числитель: \( \text{ЛЧ} = \frac{\sin (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \).
    • \n
\n

Шаг 4: Сравнение с правой частью (ПЧ).

\n
    \n
  • Полученное выражение совпадает с правой частью: \( \frac{\sin (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} = \text{ПЧ} \).
    • \n
\n

Вывод: Тождество доказано.

Что применять при решении

Основное тригонометрическое тождество
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
Формулы приведения
Правила преобразования тригонометрических функций углов, отличающихся от острого на \( \frac{\pi}{2} \) или \( \pi \) (или кратные им значения).
\( \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha; \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \)
Формулы двойного угла
Выражение синуса, косинуса и тангенса угла \( 2\alpha \) через функции угла \( \alpha \).
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha; \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \)
Формулы понижения степени
Выражение квадратов синуса и косинуса через косинус двойного угла.
\( \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}; \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \)
Формула суммы синусов
Сумма синусов двух углов.
\( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Формула разности косинусов
Разность косинусов двух углов.
\( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Формула тангенса половинного угла
Выражение тангенса половинного угла через синус и косинус угла.
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \)
Формула произведения синусов
Произведение синусов двух углов.
\( \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа Глава 5

546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.