ГДЗ: Упражнение 557 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразование первых двух слагаемых.

\n
• Приведем к общему знаменателю \( \sin \alpha \cos \alpha \):
\n
• \( \frac{\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \alpha} \).
\n

Шаг 2: Преобразование третьего слагаемого.

\n
• Числитель: \( 1 - \cos 4\alpha = 2 \sin^2 2\alpha \) (формула понижения степени).
\n
• Знаменатель: \( \cos (\pi - (\beta - \alpha)) = -\cos (\beta - \alpha) = -\cos (\alpha - \beta) \) (формула приведения и четность косинуса).
\n
• Третье слагаемое: \( -\frac{2 \sin^2 2\alpha}{\cos (\alpha - \beta)} \).
\n

Шаг 3: Сборка и дальнейшее упрощение.

\n
• Выражение: \( \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \alpha} - \left(-\frac{2 \sin^2 2\alpha}{\cos (\alpha - \beta)}\right) \). (Подождите, в задачнике нет скобок, знак минус перед дробью).
\n
• Если знак минус перед дробью: \( \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \alpha} - \frac{2 \sin^2 2\alpha}{-\cos (\alpha - \beta)} = \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \alpha} + \frac{2 \sin^2 2\alpha}{\cos (\alpha - \beta)} \).
\n

Шаг 4: Дальнейшее упрощение знаменателя первой дроби.

\n
• \( \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \).
\n
• Первое слагаемое: \( \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\frac{1}{2} \sin 2\alpha} = \frac{2 \cos (\alpha - \beta)}{\sin 2\alpha} \).
\n

Шаг 5: Итоговое выражение.

\n
• \( \frac{2 \cos (\alpha - \beta)}{\sin 2\alpha} + \frac{2 \sin^2 2\alpha}{\cos (\alpha - \beta)} \).
\n

Ответ: \( \frac{2 \cos (\alpha - \beta)}{\sin 2\alpha} + \frac{2 \sin^2 2\alpha}{\cos (\alpha - \beta)} \).