ГДЗ: Упражнение 563 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразование правой части (ПЧ).

\n
• Формула понижения степени: \( \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \).
\n
• \( \text{ПЧ} = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 - \cos 2\beta}{2} + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) \).
\n
• \( \text{ПЧ} = 1 - \frac{1}{2} (\cos 2\alpha + \cos 2\beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) \).
\n

Шаг 2: Применение формулы суммы косинусов.

\n
• \( \cos 2\alpha + \cos 2\beta = 2 \cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) \).
\n
• \( \text{ПЧ} = 1 - \frac{1}{2} \cdot 2 \cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) \).
\n
• \( = 1 - \cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) \).
\n

Шаг 3: Применение формулы косинуса разности.

\n
• \( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \).
\n
• \( \text{ПЧ} = 1 - \cos (\alpha + \beta) (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) \).
\n
• \( = 1 - \cos (\alpha + \beta) \cos \alpha \cos \beta - \cos (\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) \).
\n
• \( = 1 - \cos (\alpha + \beta) \cos \alpha \cos \beta + \cos (\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta \).
\n
• Вынесем \( \cos (\alpha + \beta) \): \( 1 - \cos (\alpha + \beta) (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) \).
\n

Шаг 4: Применение формулы косинуса суммы.

\n
• \( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \).
\n
• \( \text{ПЧ} = 1 - \cos (\alpha + \beta) \cdot \cos (\alpha + \beta) = 1 - \cos^2 (\alpha + \beta) \).
\n

Шаг 5: Применение основного тригонометрического тождества.

\n
• \( 1 - \cos^2 (\alpha + \beta) = \sin^2 (\alpha + \beta) \).
\n

Шаг 6: Сравнение с левой частью (ЛЧ).

\n
• \( \text{ПЧ} = \sin^2 (\alpha + \beta) = \text{ЛЧ} \).
\n

Вывод: Тождество доказано.

Шаг 1: Преобразование левой части (ЛЧ).

\n
• Группируем: \( \text{ЛЧ} = (\sin 5\alpha + \sin \alpha) + 2 \sin 3\alpha \).
\n
• Применим формулу суммы синусов: \( \sin 5\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{5\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - \alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha \).
\n
• \( \text{ЛЧ} = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha + 2 \sin 3\alpha \).
\n

Шаг 2: Вынесение общего множителя.

\n
• Вынесем \( 2 \sin 3\alpha \): \( \text{ЛЧ} = 2 \sin 3\alpha (\cos 2\alpha + 1) \).
\n

Шаг 3: Применение формулы косинуса двойного угла.

\n
• Используем формулу \( 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \).
\n
• \( \text{ЛЧ} = 2 \sin 3\alpha (2 \cos^2 \alpha) = 4 \sin 3\alpha \cos^2 \alpha \).
\n

Шаг 4: Сравнение с правой частью (ПЧ).

\n
• \( \text{ЛЧ} = 4 \sin 3\alpha \cos^2 \alpha = \text{ПЧ} \).
\n

Вывод: Тождество доказано.