Шаг 1: Упрощение выражения с использованием формулы произведения.
\n
\n - Применим формулу \( 2 \sin x \cos y = \sin(x + y) + \sin(x - y) \).
\n - Пусть \( x = 6\alpha \) и \( y = \frac{\pi}{4} + 3\alpha \).
\n - \( 2 \sin 6\alpha \cos (\frac{\pi}{4} + 3\alpha) = \sin (6\alpha + \frac{\pi}{4} + 3\alpha) + \sin (6\alpha - (\frac{\pi}{4} + 3\alpha)) \).
\n - \( = \sin (9\alpha + \frac{\pi}{4}) + \sin (3\alpha - \frac{\pi}{4}) \).
\n
\n
Шаг 2: Подстановка упрощенной части в исходное выражение.
\n
\n - Исходное выражение: \( \sin (9\alpha + \frac{\pi}{4}) + \sin (3\alpha - \frac{\pi}{4}) - \sin 6\alpha \).
\n
\n
Шаг 3: Вычисление значений для \( \alpha = \frac{5\pi}{24} \).
\n
\n - Вычислим аргументы:
\n - \( 3\alpha = 3 \cdot \frac{5\pi}{24} = \frac{5\pi}{8} \).
\n - \( 6\alpha = 2 \cdot 3\alpha = 2 \cdot \frac{5\pi}{8} = \frac{5\pi}{4} \).
\n - \( 9\alpha = 3 \cdot 3\alpha = 3 \cdot \frac{5\pi}{8} = \frac{15\pi}{8} \).
\n
\n
Шаг 4: Вычисление тригонометрических функций.
\n
\n - \( \sin 6\alpha = \sin \frac{5\pi}{4} = \sin (\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
\n - \( \sin (9\alpha + \frac{\pi}{4}) = \sin (\frac{15\pi}{8} + \frac{\pi}{4}) = \sin (\frac{15\pi + 2\pi}{8}) = \sin \frac{17\pi}{8} \).
\n - \( \sin \frac{17\pi}{8} = \sin (2\pi + \frac{\pi}{8}) = \sin \frac{\pi}{8} \).
\n - \( \sin (3\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin (\frac{5\pi}{8} - \frac{\pi}{4}) = \sin (\frac{5\pi - 2\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8} \).
\n
\n
Шаг 5: Подстановка в выражение.
\n
\n - Выражение: \( \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \).
\n - Применим формулу суммы синусов: \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \).
\n - \( \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8}}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}}{2} \).
\n - \( = 2 \sin \frac{4\pi}{16} \cos \frac{-2\pi}{16} = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos (-\frac{\pi}{8}) \).
\n - \( = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{8} \).
\n
\n
Шаг 6: Окончательный ответ.
\n
\n - \( \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \). (Это не является простым числом).
\n - Проверим изначальное упрощение: \( 2 \sin 6\alpha \cos (\frac{\pi}{4} + 3\alpha) - \sin 6\alpha = \sin 6\alpha (2 \cos (\frac{\pi}{4} + 3\alpha) - 1) \).
\n - При \( \alpha = \frac{5\pi}{24} \): \( 6\alpha = \frac{5\pi}{4} \). \( \frac{\pi}{4} + 3\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{8} = \frac{2\pi + 5\pi}{8} = \frac{7\pi}{8} \).
\n - Выражение: \( \sin \frac{5\pi}{4} (2 \cos \frac{7\pi}{8} - 1) \).
\n - \( \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
\n - \( \cos \frac{7\pi}{8} \) — не табличное значение.
\n
\n
Воспользуемся Шагом 2.
\n
\n - Подставим \( \sin 6\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) в \( \sin (9\alpha + \frac{\pi}{4}) + \sin (3\alpha - \frac{\pi}{4}) - \sin 6\alpha \).
\n - \( \sin \frac{17\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \).
\n - \( \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{8} \).
\n - \( \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{1 + \cos 2\cdot\frac{\pi}{8}}{2}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \).
\n - \( = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} \).
\n
\n
Итого: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \) - вероятно, в условии предполагалось другое упрощение или ошибка.
\n
Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + 1) \).
