ГДЗ: Упражнение 700 - § 39 (Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \cos 3x \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \), подставив \( -x \) вместо \( x \) в выражение для \( f(x) \): \( f(-x) = \cos (3(-x)) = \cos (-3x) \).

Шаг 3: Используем свойство чётности функции косинус: \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \). Применим его к \( \cos (-3x) \): \( \cos (-3x) = \cos (3x) \).

Шаг 4: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = \cos 3x = f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = f(x) \), функция \( y = \cos 3x \) является чётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = 2 \sin 4x \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = 2 \sin (4(-x)) = 2 \sin (-4x) \).

Шаг 3: Используем свойство нечётности функции синус: \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \). Применим его к \( 2 \sin (-4x) \): \( 2 \sin (-4x) = 2 (-\sin (4x)) = -2 \sin 4x \).

Шаг 4: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = -2 \sin 4x = -f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция \( y = 2 \sin 4x \) является нечётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \text{tg}^2 \frac{x}{2} \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = \text{tg}^2 \left( \frac{-x}{2} \right) = \left( \text{tg} \left( -\frac{x}{2} \right) \right)^2 \).

Шаг 3: Используем свойство нечётности функции тангенс: \( \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg} \, \alpha \). Применим его к \( \text{tg} \left( -\frac{x}{2} \right) \): \( \text{tg} \left( -\frac{x}{2} \right) = -\text{tg} \, \frac{x}{2} \).

Шаг 4: Возведём полученное выражение в квадрат: \( f(-x) = \left( -\text{tg} \, \frac{x}{2} \right)^2 = ((-1) \cdot \text{tg} \, \frac{x}{2})^2 = (-1)^2 \cdot \text{tg}^2 \frac{x}{2} = 1 \cdot \text{tg}^2 \frac{x}{2} = \text{tg}^2 \frac{x}{2} \).

Шаг 5: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = \text{tg}^2 \frac{x}{2} = f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = f(x) \), функция \( y = \text{tg}^2 \frac{x}{2} \) является чётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = x \cos \frac{x}{2} \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = (-x) \cos \left( \frac{-x}{2} \right) = -x \cos \left( -\frac{x}{2} \right) \).

Шаг 3: Используем свойство чётности косинуса: \( \cos \left( -\frac{x}{2} \right) = \cos \frac{x}{2} \). Тогда: \( f(-x) = -x \cos \frac{x}{2} \).

Шаг 4: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = - (x \cos \frac{x}{2}) = -f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция \( y = x \cos \frac{x}{2} \) является нечётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = x \sin x \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = (-x) \sin (-x) \).

Шаг 3: Используем свойство нечётности синуса: \( \sin (-x) = -\sin x \). Тогда: \( f(-x) = (-x) \cdot (-\sin x) = x \sin x \).

Шаг 4: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = x \sin x = f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = f(x) \), функция \( y = x \sin x \) является чётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = 2 \sin^2 x \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = 2 \sin^2 (-x) = 2 (\sin (-x))^2 \).

Шаг 3: Используем свойство нечётности синуса: \( \sin (-x) = -\sin x \). Тогда: \( f(-x) = 2 (-\sin x)^2 = 2 \cdot (-1)^2 \cdot (\sin x)^2 = 2 \sin^2 x \).

Шаг 4: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = 2 \sin^2 x = f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = f(x) \), функция \( y = 2 \sin^2 x \) является чётной.