ГДЗ: Упражнение 705 - § 39 (Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \cos \frac{2}{5} x \).

Шаг 2: Используем формулу для нахождения наименьшего положительного периода \( T \) для функции вида \( y = A \cos(kx + b) \), где \( k = \frac{2}{5} \). Формула: \( T = \frac{2\pi}{|k|} \).

Шаг 3: Подставим значение \( k \): \( T = \frac{2\pi}{|\frac{2}{5}|} = \frac{2\pi}{\frac{2}{5}} \).

Шаг 4: Выполним деление: \( T = 2\pi \cdot \frac{5}{2} = 5\pi \).

Ответ: Наименьший положительный период равен \( 5\pi \).

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \sin \frac{3}{2} x \).

Шаг 2: Используем формулу для нахождения наименьшего положительного периода \( T \) для функции вида \( y = A \sin(kx + b) \), где \( k = \frac{3}{2} \). Формула: \( T = \frac{2\pi}{|k|} \).

Шаг 3: Подставим значение \( k \): \( T = \frac{2\pi}{|\frac{3}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} \).

Шаг 4: Выполним деление: \( T = 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3} \).

Ответ: Наименьший положительный период равен \( \frac{4\pi}{3} \).

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \text{tg} \, \frac{x}{2} \).

Шаг 2: Используем формулу для нахождения наименьшего положительного периода \( T \) для функции вида \( y = A \text{tg}(kx + b) \), где \( k = \frac{1}{2} \). Формула: \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

Шаг 3: Подставим значение \( k \): \( T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} \).

Шаг 4: Выполним деление: \( T = \pi \cdot 2 = 2\pi \).

Ответ: Наименьший положительный период равен \( 2\pi \).

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = |\sin x| \).

Шаг 2: Функция \( y = \sin x \) имеет наименьший положительный период \( T_0 = 2\pi \).

Шаг 3: Функция \( y = |\sin x| \) принимает одинаковые значения на промежутках длины \( \pi \), так как \( |\sin (x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x| \).

Шаг 4: Проверим, является ли \( T = \pi \) наименьшим положительным периодом.
Возьмём \( T = \pi \). \( f(x + \pi) = |\sin (x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x| = f(x) \).
Наименьший положительный период \( T_{\min} \) должен быть делителем \( \pi \) и \( 2\pi \). Если бы \( T_{\min} = \frac{\pi}{2} \), то должно было бы выполняться: \( |\sin (x + \frac{\pi}{2})| = |\sin x| \), т.е. \( |\cos x| = |\sin x| \). Это не выполняется для всех \( x \) (например, для \( x = 0 \): \( |\cos 0| = 1 \), \( |\sin 0| = 0 \), \( 1 \neq 0 \)).

Вывод: Наименьший положительный период функции \( y = |\sin x| \) равен \( \pi \).