ГДЗ: Упражнение 702 - § 39 (Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \cos x - 1 \).

Шаг 2: Используем определение периодической функции. Нужно доказать, что \( f(x + 2\pi) = f(x) \).

Шаг 3: Найдём \( f(x + 2\pi) \): \( f(x + 2\pi) = \cos (x + 2\pi) - 1 \).

Шаг 4: Используем свойство периодичности косинуса с периодом \( 2\pi \): \( \cos (x + 2\pi) = \cos x \). Тогда: \( f(x + 2\pi) = \cos x - 1 \).

Шаг 5: Сравним \( f(x + 2\pi) \) и \( f(x) \): \( f(x + 2\pi) = \cos x - 1 = f(x) \).

Вывод: Равенство \( f(x + 2\pi) = f(x) \) выполняется, следовательно, функция \( y = \cos x - 1 \) является периодической с периодом \( 2\pi \).

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \sin x + 1 \).

Шаг 2: Используем определение периодической функции. Нужно доказать, что \( f(x + 2\pi) = f(x) \).

Шаг 3: Найдём \( f(x + 2\pi) \): \( f(x + 2\pi) = \sin (x + 2\pi) + 1 \).

Шаг 4: Используем свойство периодичности синуса с периодом \( 2\pi \): \( \sin (x + 2\pi) = \sin x \). Тогда: \( f(x + 2\pi) = \sin x + 1 \).

Шаг 5: Сравним \( f(x + 2\pi) \) и \( f(x) \): \( f(x + 2\pi) = \sin x + 1 = f(x) \).

Вывод: Равенство \( f(x + 2\pi) = f(x) \) выполняется, следовательно, функция \( y = \sin x + 1 \) является периодической с периодом \( 2\pi \).

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = 3 \sin x \).

Шаг 2: Используем определение периодической функции. Нужно доказать, что \( f(x + 2\pi) = f(x) \).

Шаг 3: Найдём \( f(x + 2\pi) \): \( f(x + 2\pi) = 3 \sin (x + 2\pi) \).

Шаг 4: Используем свойство периодичности синуса с периодом \( 2\pi \): \( \sin (x + 2\pi) = \sin x \). Тогда: \( f(x + 2\pi) = 3 \sin x \).

Шаг 5: Сравним \( f(x + 2\pi) \) и \( f(x) \): \( f(x + 2\pi) = 3 \sin x = f(x) \).

Вывод: Равенство \( f(x + 2\pi) = f(x) \) выполняется, следовательно, функция \( y = 3 \sin x \) является периодической с периодом \( 2\pi \).

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \frac{\cos x}{2} \).

Шаг 2: Используем определение периодической функции. Нужно доказать, что \( f(x + 2\pi) = f(x) \).

Шаг 3: Найдём \( f(x + 2\pi) \): \( f(x + 2\pi) = \frac{\cos (x + 2\pi)}{2} \).

Шаг 4: Используем свойство периодичности косинуса с периодом \( 2\pi \): \( \cos (x + 2\pi) = \cos x \). Тогда: \( f(x + 2\pi) = \frac{\cos x}{2} \).

Шаг 5: Сравним \( f(x + 2\pi) \) и \( f(x) \): \( f(x + 2\pi) = \frac{\cos x}{2} = f(x) \).

Вывод: Равенство \( f(x + 2\pi) = f(x) \) выполняется, следовательно, функция \( y = \frac{\cos x}{2} \) является периодической с периодом \( 2\pi \).

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \).

Шаг 2: Используем определение периодической функции. Нужно доказать, что \( f(x + 2\pi) = f(x) \).

Шаг 3: Найдём \( f(x + 2\pi) \): \( f(x + 2\pi) = \sin \left( (x + 2\pi) - \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi \right) \).

Шаг 4: Используем свойство периодичности синуса с периодом \( 2\pi \): \( \sin (\alpha + 2\pi) = \sin \alpha \). Применим его, где \( \alpha = x - \frac{\pi}{4} \). Тогда: \( f(x + 2\pi) = \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \).

Шаг 5: Сравним \( f(x + 2\pi) \) и \( f(x) \): \( f(x + 2\pi) = \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = f(x) \).

Вывод: Равенство \( f(x + 2\pi) = f(x) \) выполняется, следовательно, функция \( y = \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \) является периодической с периодом \( 2\pi \).

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \cos \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) \).

Шаг 2: Используем определение периодической функции. Нужно доказать, что \( f(x + 2\pi) = f(x) \).

Шаг 3: Найдём \( f(x + 2\pi) \): \( f(x + 2\pi) = \cos \left( (x + 2\pi) + \frac{2\pi}{3} \right) = \cos \left( \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) + 2\pi \right) \).

Шаг 4: Используем свойство периодичности косинуса с периодом \( 2\pi \): \( \cos (\alpha + 2\pi) = \cos \alpha \). Применим его, где \( \alpha = x + \frac{2\pi}{3} \). Тогда: \( f(x + 2\pi) = \cos \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) \).

Шаг 5: Сравним \( f(x + 2\pi) \) и \( f(x) \): \( f(x + 2\pi) = \cos \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) = f(x) \).

Вывод: Равенство \( f(x + 2\pi) = f(x) \) выполняется, следовательно, функция \( y = \cos \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) \) является периодической с периодом \( 2\pi \).