ГДЗ: Упражнение 706 - § 39 (Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \sin x + \cos x \).

Шаг 2: Найдём наименьшие положительные периоды слагаемых:

• Для \( f_1(x) = \sin x \) наименьший период \( T_1 = 2\pi \).
• Для \( f_2(x) = \cos x \) наименьший период \( T_2 = 2\pi \).

Шаг 3: Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. Так как \( T_1 = T_2 = 2\pi \), то \( T = \text{НОК}(2\pi, 2\pi) = 2\pi \).

Шаг 4: Альтернативный метод: Преобразуем функцию:
\( f(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \).
Эта функция имеет вид \( y = A \sin(kx + b) \) с \( k = 1 \).
Наименьший положительный период: \( T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \).

Ответ: Наименьший положительный период равен \( 2\pi \).

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \sin x + \text{tg} \, x \).

Шаг 2: Найдём наименьшие положительные периоды слагаемых:

• Для \( f_1(x) = \sin x \) наименьший период \( T_1 = 2\pi \).
• Для \( f_2(x) = \text{tg} \, x \) наименьший период \( T_2 = \pi \).

Шаг 3: Наименьший положительный период суммы функций равен НОК их периодов. Так как \( \frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \) — рациональное число, период суммы равен НОК(\( T_1, T_2 \)):
\( T = \text{НОК}(2\pi, \pi) = 2\pi \).

Шаг 4: Проверим, что \( 2\pi \) является периодом:
\( f(x + 2\pi) = \sin (x + 2\pi) + \text{tg} (x + 2\pi) = \sin x + \text{tg} (x + \pi) = \sin x + \text{tg} \, x = f(x) \).

Шаг 5: Проверим, что \( \pi \) не является периодом (поскольку \( T_2 = \pi \) является периодом второго слагаемого, достаточно проверить, что \( \pi \) не является периодом первого слагаемого: \( f_1(x + \pi) = \sin (x + \pi) = -\sin x \neq \sin x \) (кроме случаев, когда \( \sin x = 0 \))). Поскольку функция \( f(x) = \sin x + \text{tg} \, x \) должна иметь период, который является наименьшим общим кратным \( T_1 \) и \( T_2 \), и \( 2\pi \) является наименьшим общим кратным \( 2\pi \) и \( \pi \), \( 2\pi \) является наименьшим положительным периодом.

Ответ: Наименьший положительный период равен \( 2\pi \).