ГДЗ: Упражнение 703 - § 39 (Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \sin 2x \). Период \( T = \pi \).

Шаг 2: Нужно доказать, что \( f(x + T) = f(x) \), т.е. \( f(x + \pi) = f(x) \).

Шаг 3: Найдём \( f(x + \pi) \): \( f(x + \pi) = \sin (2(x + \pi)) = \sin (2x + 2\pi) \).

Шаг 4: Используем свойство периодичности синуса с периодом \( 2\pi \): \( \sin (\alpha + 2\pi) = \sin \alpha \). Применим его, где \( \alpha = 2x \). Тогда: \( f(x + \pi) = \sin 2x \).

Шаг 5: Сравним \( f(x + \pi) \) и \( f(x) \): \( f(x + \pi) = \sin 2x = f(x) \).

Вывод: Равенство \( f(x + \pi) = f(x) \) выполняется, следовательно, функция \( y = \sin 2x \) является периодической с периодом \( T = \pi \).

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \cos \frac{x}{2} \). Период \( T = 4\pi \).

Шаг 2: Нужно доказать, что \( f(x + T) = f(x) \), т.е. \( f(x + 4\pi) = f(x) \).

Шаг 3: Найдём \( f(x + 4\pi) \): \( f(x + 4\pi) = \cos \left( \frac{x + 4\pi}{2} \right) = \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{4\pi}{2} \right) = \cos \left( \frac{x}{2} + 2\pi \right) \).

Шаг 4: Используем свойство периодичности косинуса с периодом \( 2\pi \): \( \cos (\alpha + 2\pi) = \cos \alpha \). Применим его, где \( \alpha = \frac{x}{2} \). Тогда: \( f(x + 4\pi) = \cos \frac{x}{2} \).

Шаг 5: Сравним \( f(x + 4\pi) \) и \( f(x) \): \( f(x + 4\pi) = \cos \frac{x}{2} = f(x) \).

Вывод: Равенство \( f(x + 4\pi) = f(x) \) выполняется, следовательно, функция \( y = \cos \frac{x}{2} \) является периодической с периодом \( T = 4\pi \).

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \text{tg} \, 2x \). Период \( T = \frac{\pi}{2} \).

Шаг 2: Нужно доказать, что \( f(x + T) = f(x) \), т.е. \( f\left( x + \frac{\pi}{2} \right) = f(x) \).

Шаг 3: Найдём \( f\left( x + \frac{\pi}{2} \right) \): \( f\left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \text{tg} \left( 2\left( x + \frac{\pi}{2} \right) \right) = \text{tg} (2x + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \text{tg} (2x + \pi) \).

Шаг 4: Используем свойство периодичности тангенса с периодом \( \pi \): \( \text{tg} (\alpha + \pi) = \text{tg} \, \alpha \). Применим его, где \( \alpha = 2x \). Тогда: \( f\left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \text{tg} \, 2x \).

Шаг 5: Сравним \( f\left( x + \frac{\pi}{2} \right) \) и \( f(x) \): \( f\left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \text{tg} \, 2x = f(x) \).

Вывод: Равенство \( f(x + T) = f(x) \) выполняется, следовательно, функция \( y = \text{tg} \, 2x \) является периодической с периодом \( T = \frac{\pi}{2} \).

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \sin \frac{4x}{5} \). Период \( T = \frac{5\pi}{2} \).

Шаг 2: Нужно доказать, что \( f(x + T) = f(x) \), т.е. \( f\left( x + \frac{5\pi}{2} \right) = f(x) \).

Шаг 3: Найдём \( f\left( x + \frac{5\pi}{2} \right) \): \( f\left( x + \frac{5\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{4}{5} \left( x + \frac{5\pi}{2} \right) \right) = \sin \left( \frac{4x}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{4x}{5} + 2\pi \right) \).

Шаг 4: Используем свойство периодичности синуса с периодом \( 2\pi \): \( \sin (\alpha + 2\pi) = \sin \alpha \). Применим его, где \( \alpha = \frac{4x}{5} \). Тогда: \( f\left( x + \frac{5\pi}{2} \right) = \sin \frac{4x}{5} \).

Шаг 5: Сравним \( f\left( x + \frac{5\pi}{2} \right) \) и \( f(x) \): \( f\left( x + \frac{5\pi}{2} \right) = \sin \frac{4x}{5} = f(x) \).

Вывод: Равенство \( f(x + T) = f(x) \) выполняется, следовательно, функция \( y = \sin \frac{4x}{5} \) является периодической с периодом \( T = \frac{5\pi}{2} \).