ГДЗ: Упражнение 704 - § 39 (Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = \frac{1 - \cos (-x)}{1 + \cos (-x)} \).

Шаг 3: Используем свойство чётности косинуса: \( \cos (-x) = \cos x \). Тогда: \( f(-x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \).

Шаг 4: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = f(x) \), функция \( y = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \) является чётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{1 + \cos 2x} \).

Шаг 2: Упростим числитель, используя тождество \( \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| \). Тогда: \( f(x) = \frac{|\sin x|}{1 + \cos 2x} \).

Шаг 3: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = \frac{|\sin (-x)|}{1 + \cos (2(-x))} \).

Шаг 4: Используем свойства чётности/нечётности:

• \( \sin (-x) = -\sin x \), следовательно \( |\sin (-x)| = |-\sin x| = |\sin x| \).
• \( \cos (-2x) = \cos 2x \) (чётная).

Тогда: \( f(-x) = \frac{|\sin x|}{1 + \cos 2x} \).

Шаг 5: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = f(x) \), функция \( y = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{1 + \cos 2x} \) является чётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x} \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = \frac{\cos (2(-x)) - (-x)^2}{\sin (-x)} \).

Шаг 3: Используем свойства чётности/нечётности:

• Числитель: \( \cos (-2x) = \cos 2x \) (чётная), \( (-x)^2 = x^2 \) (чётная). Разность двух чётных функций \( \cos 2x - x^2 \) является чётной.
• Знаменатель: \( \sin (-x) = -\sin x \) (нечётная).

Тогда: \( f(-x) = \frac{\cos 2x - x^2}{-\sin x} = -\left( \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x} \right) \).

Шаг 4: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = -f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция \( y = \frac{\cos 2x - x^2}{\sin x} \) является нечётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x} \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = \frac{(-x)^3 + \sin (2(-x))}{\cos (-x)} \).

Шаг 3: Используем свойства чётности/нечётности:

• Числитель: \( (-x)^3 = -x^3 \) (нечётная), \( \sin (-2x) = -\sin 2x \) (нечётная). Сумма двух нечётных функций \( -x^3 - \sin 2x = -(x^3 + \sin 2x) \) является нечётной.
• Знаменатель: \( \cos (-x) = \cos x \) (чётная).

Тогда: \( f(-x) = \frac{-(x^3 + \sin 2x)}{\cos x} = -\left( \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x} \right) \).

Шаг 4: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = -f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция \( y = \frac{x^3 + \sin 2x}{\cos x} \) является нечётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = 3^{\cos x} \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = 3^{\cos (-x)} \).

Шаг 3: Используем свойство чётности косинуса: \( \cos (-x) = \cos x \). Тогда: \( f(-x) = 3^{\cos x} \).

Шаг 4: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = f(x) \), функция \( y = 3^{\cos x} \) является чётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = x \, |\sin x| \, \sin^2 x \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = (-x) \, |\sin (-x)| \, \sin^2 (-x) \).

Шаг 3: Используем свойства чётности/нечётности:

• \( (-x) = -x \) (нечётная).
• \( |\sin (-x)| = |-\sin x| = |\sin x| \) (чётная).
• \( \sin^2 (-x) = (\sin (-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x \) (чётная).

Шаг 4: Произведение нечётной функции на две чётные: \( f(-x) = (-x) \cdot |\sin x| \cdot \sin^2 x = - (x \, |\sin x| \, \sin^2 x) \).

Шаг 5: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = -f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция \( y = x \, |\sin x| \, \sin^2 x \) является нечётной.