Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 39 / Задание 707

ГДЗ: Упражнение 707 - § 39 (Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 204, 207, 208
Глава: Глава 7
Параграф: § 39 - Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

707 упражнение:

Пусть функция \( f(x) \) определена на всей числовой прямой. Доказать, что:

1) \( f(x) + f(-x) \) — чётная функция.

Шаг 1: Введём вспомогательную функцию \( g(x) = f(x) + f(-x) \).

Шаг 2: Для доказательства чётности нужно проверить, выполняется ли равенство \( g(-x) = g(x) \).

Шаг 3: Найдём \( g(-x) \), подставив \( -x \) вместо \( x \) в выражение для \( g(x) \):
\( g(-x) = f((-x)) + f(-(-x)) \).
\( g(-x) = f(-x) + f(x) \).

Шаг 4: Используем свойство коммутативности сложения:
\( g(-x) = f(x) + f(-x) \).

Шаг 5: Сравним \( g(-x) \) и \( g(x) \):
\( g(-x) = f(x) + f(-x) = g(x) \).

Вывод: Так как \( g(-x) = g(x) \), функция \( f(x) + f(-x) \) является чётной.

2) \( f(x) - f(-x) \) — нечётная функция.

Шаг 1: Введём вспомогательную функцию \( h(x) = f(x) - f(-x) \).

Шаг 2: Для доказательства нечётности нужно проверить, выполняется ли равенство \( h(-x) = -h(x) \).

Шаг 3: Найдём \( h(-x) \), подставив \( -x \) вместо \( x \) в выражение для \( h(x) \):
\( h(-x) = f((-x)) - f(-(-x)) \).
\( h(-x) = f(-x) - f(x) \).

Шаг 4: Вынесем знак минус:
\( h(-x) = -(f(x) - f(-x)) \).

Шаг 5: Сравним \( h(-x) \) и \( h(x) \):
\( h(-x) = - (f(x) - f(-x)) = -h(x) \).

Вывод: Так как \( h(-x) = -h(x) \), функция \( f(x) - f(-x) \) является нечётной.

Что применять при решении

Определение чётной функции
Функция \( f(x) \) называется чётной, если для любого \( x \) из её области определения выполняется равенство: \( f(-x) = f(x) \). График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
\( f(-x) = f(x) \)
Определение нечётной функции
Функция \( f(x) \) называется нечётной, если для любого \( x \) из её области определения выполняется равенство: \( f(-x) = -f(x) \). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
\( f(-x) = -f(x) \)
Чётность и нечётность основных тригонометрических функций
Функция косинус \( y = \cos x \) — чётная. Функции синус \( y = \sin x \), тангенс \( y = \text{tg} \, x \) и котангенс \( y = \text{ctg} \, x \) — нечётные.
\( \cos(-x) = \cos x \); \( \sin(-x) = -\sin x \); \( \text{tg}(-x) = -\text{tg} \, x \)
Определение периодической функции
Функция \( f(x) \) называется периодической с периодом \( T \neq 0 \), если для любого \( x \) из её области определения выполняется равенство: \( f(x + T) = f(x) \). Наименьшее положительное число \( T \) называется наименьшим положительным периодом.
\( f(x + T) = f(x) \)
Наименьший положительный период функций вида \( y = A \, \text{sin}(kx + b) \) и \( y = A \, \text{cos}(kx + b) \)
Наименьший положительный период для функций \( y = A \, \text{sin}(kx + b) \) и \( y = A \, \text{cos}(kx + b) \) с \( k \neq 0 \) равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \).
\( T = \frac{2\pi}{|k|} \)
Наименьший положительный период функций вида \( y = A \, \text{tg}(kx + b) \) и \( y = A \, \text{ctg}(kx + b) \)
Наименьший положительный период для функций \( y = A \, \text{tg}(kx + b) \) и \( y = A \, \text{ctg}(kx + b) \) с \( k \neq 0 \) равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).
\( T = \frac{\pi}{|k|} \)
Период суммы функций
Если функции \( f_1(x) \) и \( f_2(x) \) имеют наименьшие положительные периоды \( T_1 \) и \( T_2 \), то наименьший положительный период их суммы \( f_1(x) + f_2(x) \) равен наименьшему общему кратному (НОК) чисел \( T_1 \) и \( T_2 \) (если отношение \( \frac{T_1}{T_2} \) является рациональным числом). Если отношение периодов иррационально, то функция-сумма может не иметь наименьшего положительного периода.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 39

700 701 702 703 704 705 706 707
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.