ГДЗ: Упражнение 701 - § 39 (Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \sin x + x \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = \sin (-x) + (-x) = \sin (-x) - x \).

Шаг 3: Используем свойство нечётности синуса: \( \sin (-x) = -\sin x \). Тогда: \( f(-x) = -\sin x - x = -(\sin x + x) \).

Шаг 4: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = -f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция \( y = \sin x + x \) является нечётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \cos \left( x - \frac{\pi}{2} \right) - x^2 \).

Шаг 2: Преобразуем первое слагаемое с помощью формулы приведения \( \cos (\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin \alpha \). В нашем случае: \( \cos \left( x - \frac{\pi}{2} \right) = \sin x \). Тогда: \( f(x) = \sin x - x^2 \).

Шаг 3: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = \sin (-x) - (-x)^2 \).

Шаг 4: Используем свойства чётности/нечётности: \( \sin (-x) = -\sin x \) (нечётная) и \( (-x)^2 = x^2 \) (чётная). Тогда: \( f(-x) = -\sin x - x^2 \).

Шаг 5: Сравним \( f(-x) \) с \( f(x) \) и \( -f(x) \):

• С \( f(x) = \sin x - x^2 \): \( f(-x) = -\sin x - x^2 \neq f(x) \) (если \( \sin x \neq 0 \)).
• С \( -f(x) = -(\sin x - x^2) = -\sin x + x^2 \): \( f(-x) = -\sin x - x^2 \neq -f(x) \) (если \( x^2 \neq 0 \)).

Вывод: Поскольку \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \) (например, при \( x = \pi \): \( f(\pi) = \sin \pi - \pi^2 = -\pi^2 \), \( f(-\pi) = -\sin \pi - \pi^2 = -\pi^2 \), что даёт \( f(-\pi) = f(\pi) \); а при \( x = \frac{\pi}{2} \): \( f(\frac{\pi}{2}) = 1 - \frac{\pi^2}{4} \), \( f(-\frac{\pi}{2}) = -1 - \frac{\pi^2}{4} \). Здесь \( f(-\frac{\pi}{2}) \neq f(\frac{\pi}{2}) \) и \( f(-\frac{\pi}{2}) \neq -f(\frac{\pi}{2}) \)), функция \( y = \cos \left( x - \frac{\pi}{2} \right) - x^2 \) является ни чётной, ни нечётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = 3 - \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) \sin (\pi - x) \).

Шаг 2: Упростим функцию, используя формулы приведения:

• \( \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin x \)
• \( \sin (\pi - x) = \sin x \)

Тогда: \( f(x) = 3 - (-\sin x) \cdot (\sin x) = 3 - (-\sin^2 x) = 3 + \sin^2 x \).

Шаг 3: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = 3 + \sin^2 (-x) = 3 + (\sin (-x))^2 \).

Шаг 4: Используем свойство нечётности синуса: \( \sin (-x) = -\sin x \). Тогда: \( f(-x) = 3 + (-\sin x)^2 = 3 + \sin^2 x \).

Шаг 5: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = 3 + \sin^2 x = f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = f(x) \), функция \( y = 3 - \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) \sin (\pi - x) \) является чётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \frac{1}{2} \cos 2x \sin \left( \frac{3\pi}{2} - 2x \right) + 3 \).

Шаг 2: Упростим функцию, используя формулу приведения для синуса: \( \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = -\cos \alpha \). В нашем случае \( \alpha = 2x \): \( \sin \left( \frac{3\pi}{2} - 2x \right) = -\cos 2x \).

Тогда: \( f(x) = \frac{1}{2} \cos 2x \cdot (-\cos 2x) + 3 = -\frac{1}{2} \cos^2 2x + 3 \).

Шаг 3: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = -\frac{1}{2} \cos^2 (2(-x)) + 3 = -\frac{1}{2} (\cos (-2x))^2 + 3 \).

Шаг 4: Используем свойство чётности косинуса: \( \cos (-2x) = \cos 2x \). Тогда: \( f(-x) = -\frac{1}{2} (\cos 2x)^2 + 3 = -\frac{1}{2} \cos^2 2x + 3 \).

Шаг 5: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = f(x) \), функция \( y = \frac{1}{2} \cos 2x \sin \left( \frac{3\pi}{2} - 2x \right) + 3 \) является чётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \frac{\sin x}{x} + \sin x \cos x \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = \frac{\sin (-x)}{-x} + \sin (-x) \cos (-x) \).

Шаг 3: Используем свойства чётности/нечётности:

• \( \sin (-x) = -\sin x \) (нечётная)
• \( \cos (-x) = \cos x \) (чётная)

Шаг 4: Подставим в выражение для \( f(-x) \): \( f(-x) = \frac{-\sin x}{-x} + (-\sin x) \cdot (\cos x) = \frac{\sin x}{x} - \sin x \cos x \).

Шаг 5: Сравним \( f(-x) \) с \( f(x) \) и \( -f(x) \):

• \( f(x) = \frac{\sin x}{x} + \sin x \cos x \).
• \( f(-x) = \frac{\sin x}{x} - \sin x \cos x \).

Очевидно, \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \) (например, при \( x = \frac{\pi}{2} \): \( f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{\pi/2} + 1 \cdot 0 = \frac{2}{\pi} \), \( f(-\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{-\pi/2} - 1 \cdot 0 = -\frac{2}{\pi} \). Здесь \( f(-\frac{\pi}{2}) = -f(\frac{\pi}{2}) \).
Но, например, при \( x = \pi/4 \): \( f(\pi/4) = \frac{\sin (\pi/4)}{\pi/4} + \sin (\pi/4) \cos (\pi/4) = \frac{\sqrt{2}/2}{\pi/4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} + \frac{1}{2} \).
\( f(-\pi/4) = \frac{\sin (-\pi/4)}{-\pi/4} + \sin (-\pi/4) \cos (-\pi/4) = \frac{-\sqrt{2}/2}{-\pi/4} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} - \frac{1}{2} \).
Видим, что \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \) (так как \( \sin x \cos x \neq 0 \)).

Вывод: Функция \( y = \frac{\sin x}{x} + \sin x \cos x \) является ни чётной, ни нечётной.

Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = x^2 + 1 + \cos x \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( -x \): \( f(-x) = (-x)^2 + 1 + \cos (-x) \).

Шаг 3: Используем свойства чётности: \( (-x)^2 = x^2 \) и \( \cos (-x) = \cos x \). Тогда: \( f(-x) = x^2 + 1 + \cos x \).

Шаг 4: Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \( f(-x) = x^2 + 1 + \cos x = f(x) \).

Вывод: Так как \( f(-x) = f(x) \), функция \( y = x^2 + 1 + \cos x \) является чётной.