Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 51 / Задание 924

ГДЗ: Упражнение 924 - § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 271, 275, 276
Глава: Глава 9
Параграф: § 51 - Применение производной к построению графиков функций
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

924 упражнение:

Построить эскиз графика функции \( y = f(x) \), непрерывной на отрезке \( [a; b] \), если:

1) \( a = -2 \), \( b = 4 \), \( f(-2) = -2 \), \( y = f(x) \) возрастает на отрезке \( [-2; 1] \) и \( f(x) = x \) при \( 1 \le x \le 4 \);

Шаг 1: Анализ исходных данных.

\n
  • Функция \( y = f(x) \) непрерывна на \( [-2; 4] \).
    • \n
  • Начальная точка: \( f(-2) = -2 \).
    • \n
  • На отрезке \( [1; 4] \) функция задана как \( f(x) = x \).
    • \n
  • На отрезке \( [-2; 1] \) функция возрастает.
    • \n

    Шаг 2: Построение части графика на \( [1; 4] \).

    \n
  • Если \( f(x) = x \) при \( 1 \le x \le 4 \), то:
    • \n
      \n
    • \( f(1) = 1 \).
      • \n
    • \( f(4) = 4 \).
      • \n
    \n

    Шаг 3: Построение части графика на \( [-2; 1] \).

    \n
  • Начальная точка \( (-2; -2) \), конечная точка этой части \( (1; 1) \).
    • \n
  • Функция должна возрастать на \( [-2; 1] \). Можно соединить эти точки, например, отрезком прямой или любой кривой, которая монотонно возрастает (например, частью параболы или кубической параболы, идущей вверх).
    • \n

    Эскиз: График начинается в \( (-2; -2) \), возрастает до \( (1; 1) \), а затем идет как прямая \( y=x \) до \( (4; 4) \).

    2) \( a = 1 \), \( b = 7 \), \( f(7) = 1 \), \( y = f(x) \) убывает на отрезке \( [2; 7] \), \( f(x) = x^2 \) при \( 1 \le x \le 2 \);

    Шаг 1: Анализ исходных данных.

    \n
  • Функция \( y = f(x) \) непрерывна на \( [1; 7] \).
    • \n
  • Конечная точка: \( f(7) = 1 \).
    • \n
  • На отрезке \( [1; 2] \) функция задана как \( f(x) = x^2 \).
    • \n
  • На отрезке \( [2; 7] \) функция убывает.
    • \n

    Шаг 2: Построение части графика на \( [1; 2] \).

    \n
  • Если \( f(x) = x^2 \) при \( 1 \le x \le 2 \), то:
    • \n
      \n
    • Начальная точка: \( f(1) = 1^2 = 1 \).
      • \n
    • Конечная точка: \( f(2) = 2^2 = 4 \).
      • \n
    • На этом отрезке график идет как часть параболы, он возрастает.
      • \n
    \n

    Шаг 3: Построение части графика на \( [2; 7] \).

    \n
  • Начальная точка \( (2; 4) \), конечная точка \( (7; 1) \).
    • \n
  • Функция должна убывать на \( [2; 7] \). Можно соединить эти точки, например, отрезком прямой или любой кривой, которая монотонно убывает (например, частью параболы или экспоненциальной функции, идущей вниз).
    • \n

    Эскиз: График начинается в \( (1; 1) \), идет как парабола \( y=x^2 \) до \( (2; 4) \) (возрастание), а затем монотонно убывает до \( (7; 1) \).

    Что применять при решении

    Признак возрастания/убывания функции
    Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.
    Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.
    Точки экстремума
    Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.
    Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 51

    923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.