Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 51 / Задание 933

ГДЗ: Упражнение 933 - § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 271, 275, 276

Глава:	Глава 9
Параграф:	§ 51 - Применение производной к построению графиков функций
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

933 упражнение:

Построить график функции:

1) \( y = \frac{x^2}{x - 2} \);

Шаг 1: Область определения и асимптоты.

\( D(y): x \ne 2 \). Вертикальная асимптота: \( x = 2 \).

Наклонная асимптота (деление многочленов): \( \frac{x^2}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2} \). Наклонная асимптота: \( y = x + 2 \).

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = \frac{2x(x - 2) - x^2(1)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2} = \frac{x(x - 4)}{(x - 2)^2} \).

\( y' = 0 \) \( \implies \) \( x(x - 4) = 0 \). Критические точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 4 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

Знаменатель \( (x - 2)^2 > 0 \). Знак \( y' \) определяется числителем \( x(x - 4) \).

\( (-\infty; 0) \): \( y' > 0 \). Возрастает. \( x = 0 \) — максимум. \( y(0) = 0 \).

\( (0; 2) \): \( y' < 0 \). Убывает.

\( (2; 4) \): \( y' < 0 \). Убывает.

\( (4; +\infty) \): \( y' > 0 \). Возрастает. \( x = 4 \) — минимум. \( y(4) = \frac{16}{2} = 8 \).

Эскиз: Имеет максимум в \( (0; 0) \) и минимум в \( (4; 8) \). Разрывается в \( x=2 \) (вертикальная асимптота), имеет наклонную асимптоту \( y = x + 2 \).

2) \( y = \frac{-x^2 + 3x - 1}{x} \);

Шаг 1: Область определения и асимптоты.

\( D(y): x \ne 0 \). Вертикальная асимптота: \( x = 0 \).

Преобразуем: \( y = -x + 3 - \frac{1}{x} \). Наклонная асимптота: \( y = -x + 3 \).

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = -1 + \frac{1}{x^2} \).

\( y' = 0 \) \( \implies \) \( \frac{1}{x^2} = 1 \) \( \implies \) \( x^2 = 1 \) \( \implies \) \( x = \pm 1 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( (-\infty; -1) \): \( y' < 0 \) (т.к. \( 1/x^2 < 1 \)). Убывает. \( x = -1 \) — минимум. \( y(-1) = 1 + 3 + 1 = 5 \).

\( (-1; 0) \): \( y' > 0 \). Возрастает.

\( (0; 1) \): \( y' > 0 \). Возрастает. \( x = 1 \) — максимум. \( y(1) = -1 + 3 - 1 = 1 \).

\( (1; +\infty) \): \( y' < 0 \). Убывает.

Эскиз: Имеет максимум \( (1; 1) \) и минимум \( (-1; 5) \). Разрывается в \( x=0 \) (вертикальная асимптота), имеет наклонную асимптоту \( y = -x + 3 \).

3) \( y = \frac{4 + x - 2x^2}{(x - 2)^2} \).

Шаг 1: Область определения и асимптоты.

\( D(y): x \ne 2 \). Вертикальная асимптота: \( x = 2 \).

Горизонтальная асимптота (отношение старших членов): \( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2x^2}{x^2} = -2 \). Горизонтальная асимптота: \( y = -2 \).

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = \frac{(1 - 4x)(x - 2)^2 - (4 + x - 2x^2) \cdot 2(x - 2)}{(x - 2)^4} = \frac{(1 - 4x)(x - 2) - 2(4 + x - 2x^2)}{(x - 2)^3} \).

Числитель: \( (x - 2 - 4x^2 + 8x) - (8 + 2x - 4x^2) = (9x - 2 - 4x^2) - (8 + 2x - 4x^2) = 7x - 10 \).

\( y' = \frac{7x - 10}{(x - 2)^3} \).

\( y' = 0 \) \( \implies \) \( 7x - 10 = 0 \) \( \implies \) \( x = 10/7 \approx 1.43 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

Нуль числителя: \( x = 10/7 \). Нуль знаменателя: \( x = 2 \).

\( (-\infty; 10/7) \): \( y' > 0 \) (числитель \( < 0 \), знаменатель \( < 0 \)). Возрастает. \( x = 10/7 \) — максимум. \( y(10/7) \approx 8 \).

\( (10/7; 2) \): \( y' < 0 \). Убывает.

\( (2; +\infty) \): \( y' > 0 \) (числитель \( > 0 \), знаменатель \( > 0 \)). Возрастает.

Эскиз: Имеет максимум в \( x = 10/7 \). Разрывается в \( x=2 \). Имеет горизонтальную асимптоту \( y = -2 \).

Что применять при решении

Признак возрастания/убывания функции

Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.

Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.

Точки экстремума

Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.

Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 51

923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.