Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 51 / Задание 926

ГДЗ: Упражнение 926 - § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 271, 275, 276

Глава:	Глава 9
Параграф:	§ 51 - Применение производной к построению графиков функций
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

926 упражнение:

Построить график функции:

1) \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \);

Шаг 1: Область определения.

Область определения — все действительные числа: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

Шаг 2: Производная и критические точки.

Находим производную: \( y' = (x^3 - 3x^2 + 4)' = 3x^2 - 6x \).

Находим критические точки (\( y' = 0 \)): \( 3x^2 - 6x = 0 \) \( \implies \) \( 3x(x - 2) = 0 \). Критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

Промежутки: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 2) \), \( (2; +\infty) \).

\( (-\infty; 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = 3(-1)(-1 - 2) = 9 > 0 \). Функция возрастает.

\( (0; 2) \): Возьмем \( x = 1 \). \( y'(1) = 3(1)(1 - 2) = -3 < 0 \). Функция убывает.

\( (2; +\infty) \): Возьмем \( x = 3 \). \( y'(3) = 3(3)(3 - 2) = 9 > 0 \). Функция возрастает.

Экстремумы:

\( x = 0 \): смена знака с \( + \) на \( - \) \( \implies \) точка максимума. \( y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \).
\( x = 2 \): смена знака с \( - \) на \( + \) \( \implies \) точка минимума. \( y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \).

Шаг 4: Дополнительные точки (нули функции).

\( y = x^3 - 3x^2 + 4 = 0 \). Заметим, что \( x=2 \) — корень (\( 0=0 \)). Разделим многочлен на \( (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \) или \( (x - 2) \) и сгруппируем: \( (x^3 - 4x^2 + 4x) + (x^2 - 4x + 4) = x(x^2 - 4x + 4) + (x^2 - 4x + 4) = (x + 1)(x - 2)^2 = 0 \).

Корни: \( x = -1 \) и \( x = 2 \) (двукратный корень).

Эскиз: График возрастает до \( (0; 4) \), убывает, проходит через \( (2; 0) \) (точка минимума и касание оси \( x \)), затем возрастает. Пересекает ось \( x \) в \( (-1; 0) \).

2) \( y = 2 + 3x - x^3 \);

Шаг 1: Область определения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = (2 + 3x - x^3)' = 3 - 3x^2 \).

\( y' = 0 \) \( \implies \) \( 3 - 3x^2 = 0 \) \( \implies \) \( 3(1 - x^2) = 0 \) \( \implies \) \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 1 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( y' = -3(x - 1)(x + 1) \).

\( (-\infty; -1) \): \( y' < 0 \). Функция убывает.

\( (-1; 1) \): \( y' > 0 \). Функция возрастает.

\( (1; +\infty) \): \( y' < 0 \). Функция убывает.

Экстремумы:

\( x = -1 \): смена знака с \( - \) на \( + \) \( \implies \) точка минимума. \( y(-1) = 2 + 3(-1) - (-1)^3 = 2 - 3 + 1 = 0 \).
\( x = 1 \): смена знака с \( + \) на \( - \) \( \implies \) точка максимума. \( y(1) = 2 + 3(1) - (1)^3 = 2 + 3 - 1 = 4 \).

Эскиз: Убывает до \( (-1; 0) \) (минимум, нуль функции), возрастает до \( (1; 4) \) (максимум), затем убывает. \( y(0) = 2 \). Единственный целый корень \( x=-1 \).

3) \( y = -x^3 + 4x^2 - 4x \);

Шаг 1: Область определения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = (-x^3 + 4x^2 - 4x)' = -3x^2 + 8x - 4 \).

\( y' = 0 \) \( \implies \) \( -3x^2 + 8x - 4 = 0 \). \( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 8^2 - 4(3)(4) = 64 - 48 = 16 \). \( \sqrt{D} = 4 \).

\( x_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{6} \). \( x_1 = \frac{12}{6} = 2 \), \( x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( y' = -3(x - 2)(x - 2/3) \).

\( (-\infty; 2/3) \): \( y' < 0 \). Функция убывает.

\( (2/3; 2) \): \( y' > 0 \). Функция возрастает.

\( (2; +\infty) \): \( y' < 0 \). Функция убывает.

Экстремумы:

\( x = 2/3 \): смена знака с \( - \) на \( + \) \( \implies \) точка минимума. \( y(2/3) = -(2/3)^3 + 4(2/3)^2 - 4(2/3) = -8/27 + 16/9 - 8/3 = -8/27 + 48/27 - 72/27 = -32/27 \).
\( x = 2 \): смена знака с \( + \) на \( - \) \( \implies \) точка максимума. \( y(2) = -(2)^3 + 4(2)^2 - 4(2) = -8 + 16 - 8 = 0 \).

Дополнительные точки (нули функции): \( y = -x(x^2 - 4x + 4) = -x(x - 2)^2 \). Нули: \( x = 0 \) и \( x = 2 \) (двукратный корень).

Эскиз: Убывает до \( (2/3; -32/27) \) (минимум), возрастает до \( (2; 0) \) (максимум, касание оси \( x \)), затем убывает. Проходит через \( (0; 0) \).

4) \( y = x^4 + 6x^2 + 9x \).

Шаг 1: Область определения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = (x^4 + 6x^2 + 9x)' = 4x^3 + 12x + 9 \).

Находим корни уравнения \( 4x^3 + 12x + 9 = 0 \) (методом подбора). Заметим, что при \( x = -1.5 = -3/2 \): \( 4(-3/2)^3 + 12(-3/2) + 9 = 4(-27/8) - 18 + 9 = -27/2 - 9 = -13.5 - 9 = -22.5 \) (Не 0).

Попробуем рациональные корни \( p/q \) (\( p \) делит 9, \( q \) делит 4). \( x = -1 \): \( 4(-1) + 12(-1) + 9 = -4 - 12 + 9 = -7 \).

С помощью численных методов или формулы Кардано можно найти единственный действительный корень. Для построения графика четвертой степени, особенно когда кубическое уравнение имеет один корень, достаточно: найти знак \( y' \) и значение функции в этой точке.

Единственный действительный корень: \( x \approx -0.635 \) (пусть будет \( x_0 \)).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

Для \( x < x_0 \) (например, \( x=-1 \)), \( y'(-1) = -7 < 0 \). Функция убывает.

Для \( x > x_0 \) (например, \( x=0 \)), \( y'(0) = 9 > 0 \). Функция возрастает.

Экстремум: \( x = x_0 \) — точка минимума. \( y_{min} = y(x_0) \) (отрицательное значение).

Эскиз: Убывает до \( x_0 \), затем возрастает. Имеет один локальный минимум. \( y(0) = 0 \) (нуль функции). График имеет форму "чаши", сдвинутой влево.

Что применять при решении

Признак возрастания/убывания функции

Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.

Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.

Точки экстремума

Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.

Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 51

923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.