ГДЗ: Упражнение 927 - § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Область определения.

Шаг 2: Производная и критические точки.

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\n
• \( x = -2 \): минимум. \( y(-2) = -(-2)^4 + 8(-2)^2 - 16 = -16 + 32 - 16 = 0 \).
\n
• \( x = 0 \): максимум. \( y(0) = -16 \). (Ошибка в знаке, \( y(0) = -16 \) не максимум). Проверим: \( x=0 \) смена с \( - \) на \( + \) - минимум. Знаки: \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.), \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.). (Ошибка в знаке \( -4x^3 \)). \( -4x \) для \( x \to -\infty \) положительно. Верные знаки: \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.), \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.).
\n
• Перепроверка знаков: \( y' = -4x(x - 2)(x + 2) \).
\n
\n
• \( x = -3 \): \( -4(-3)(-5)(-1) = -60 < 0 \). Убывает. (Ошибка в первом шаге!)
\n
• \( x = -1 \): \( -4(-1)(-3)(1) = -12 < 0 \). Убывает. (Опять ошибка).
\n
\n
• Верное разбиение: \( (-\infty; -2) \), \( (-2; 0) \), \( (0; 2) \), \( (2; +\infty) \).
\n
• \( x = -3 \): \( y' = -4(-3)(-1)(-5) = -60 < 0 \). Убывает.
\n
• \( x = -1 \): \( y' = -4(-1)(-3)(1) = -12 < 0 \). (Ошибка в знаках: \( y'(-1) = -4(-1)((-1)-2)((-1)+2) = 4(-3)(1) = -12 \) – не верно!)
\n
• \( y'(-1) = -4(-1)((-1)-2)((-1)+2) = 4 \cdot (-3) \cdot 1 = -12 \).
\n
• Попробуем \( y'(-1) = -4(-1)((-1)^2 - 4) = 4(1 - 4) = -12 \). Убывает.
\n
• Снова: \( y'(-3) = -4(-3)((-3)^2 - 4) = 12(9 - 4) = 60 > 0 \). Возр.
\n
• \( x = -1 \): \( y'(-1) = -12 < 0 \). Убыв.
\n
• \( x = 1 \): \( y'(1) = -4(1)(1^2 - 4) = -4(-3) = 12 > 0 \). Возр.
\n
• \( x = 3 \): \( y'(3) = -4(3)(3^2 - 4) = -12(5) = -60 < 0 \). Убыв.
\n

\n
• \( x = -2 \): смена с \( + \) на \( - \) \( \implies \) максимум. \( y(-2) = 0 \).
\n
• \( x = 0 \): смена с \( - \) на \( + \) \( \implies \) минимум. \( y(0) = -16 \).
\n
• \( x = 2 \): смена с \( + \) на \( - \) \( \implies \) максимум. \( y(2) = 0 \).
\n

Эскиз: График W-образной формы, "перевернутая W". Имеет два максимума \( y=0 \) в \( x=\pm 2 \) (нули функции) и минимум \( y=-16 \) в \( x=0 \).

Шаг 1: Область определения.

Шаг 2: Производная и критические точки.

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\n
• \( x = -1 \): минимум. \( y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 \).
\n
• \( x = 0 \): максимум. \( y(0) = 1 \).
\n
• \( x = 1 \): минимум. \( y(1) = 0 \).
\n

Дополнительные точки (нули функции): \( y = (x^2 - 1)^2 = ((x - 1)(x + 1))^2 \). Нули: \( x = \pm 1 \) (двукратные корни).

Эскиз: График W-образной формы. Имеет два минимума \( y=0 \) в \( x=\pm 1 \) (касание оси \( x \)) и максимум \( y=1 \) в \( x=0 \).

Шаг 1: Область определения.

Шаг 2: Производная и критические точки.

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\n
• \( x = -\frac{1}{\sqrt{6}} \): максимум. \( y_{max} = \frac{1}{24}(\frac{1}{36}) - \frac{1}{6}(\frac{1}{216}) = \frac{1}{864} - \frac{1}{1296} \approx 0.00038 \). (Положительное).
\n
• \( x = 0 \): минимум. \( y(0) = 0 \).
\n
• \( x = \frac{1}{\sqrt{6}} \): максимум. \( y_{max} = \frac{1}{24}(\frac{1}{36}) - \frac{1}{6}(\frac{1}{216}) \approx 0.00038 \).
\n

Эскиз: График имеет три экстремума, с двумя симметричными максимумами (\( y > 0 \)) и минимумом в начале координат (\( y=0 \)). Сходится к \( -\infty \) при \( x \to \pm\infty \) (поскольку старший член \( -\frac{1}{6}x^6 \)).

Шаг 1: Область определения.

Шаг 2: Производная и критические точки.

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\n
• \( x = -1 \): максимум. \( y(-1) = 6(-1)^4 - 4(-1)^6 = 6 - 4 = 2 \).
\n
• \( x = 0 \): минимум. \( y(0) = 0 \).
\n
• \( x = 1 \): максимум. \( y(1) = 2 \).
\n

Эскиз: График имеет три экстремума, с двумя симметричными максимумами \( y=2 \) в \( x=\pm 1 \) и минимумом \( y=0 \) в \( x=0 \). Сходится к \( -\infty \) при \( x \to \pm\infty \).