Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 51 / Задание 931

ГДЗ: Упражнение 931 - § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 271, 275, 276

Глава:	Глава 9
Параграф:	§ 51 - Применение производной к построению графиков функций
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

931 упражнение:

Построить график функции:

1) \( y = 3x + \frac{1}{3x} \);

Шаг 1: Область определения и асимптоты.

\( D(y): x \ne 0 \). Вертикальная асимптота: \( x = 0 \).

Наклонная асимптота: \( y = 3x \) (так как \( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{3x} = 0 \)).

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = 3 - \frac{1}{3x^2} \).

\( y' = 0 \) \( \implies \) \( 3 = \frac{1}{3x^2} \) \( \implies \) \( x^2 = \frac{1}{9} \) \( \implies \) \( x = \pm \frac{1}{3} \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( (-\infty; -1/3) \): \( y' > 0 \). Возрастает. \( x = -1/3 \) — максимум. \( y(-1/3) = -1 - 1 = -2 \).

\( (-1/3; 0) \): \( y' < 0 \). Убывает.

\( (0; 1/3) \): \( y' < 0 \). Убывает. \( x = 1/3 \) — минимум. \( y(1/3) = 1 + 1 = 2 \).

\( (1/3; +\infty) \): \( y' > 0 \). Возрастает.

Эскиз: Две ветви, симметричные относительно начала координат. Минимум \( (1/3; 2) \), максимум \( (-1/3; -2) \). Асимптоты \( x=0 \) и \( y=3x \).

2) \( y = \frac{4}{x} - x \);

Шаг 1: Область определения и асимптоты.

\( D(y): x \ne 0 \). Вертикальная асимптота: \( x = 0 \).

Наклонная асимптота: \( y = -x \).

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = -\frac{4}{x^2} - 1 \).

\( y' = 0 \) \( \implies \) \( -\frac{4}{x^2} = 1 \) \( \implies \) \( -4 = x^2 \). Нет действительных решений.

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

Так как \( y' = -\left( \frac{4}{x^2} + 1 \right) < 0 \) для всех \( x \ne 0 \), функция убывает на \( (-\infty; 0) \) и на \( (0; +\infty) \).

Экстремумов нет.

Эскиз: Две ветви, убывающие на своих областях определения. Нули функции: \( \frac{4}{x} - x = 0 \) \( \implies \) \( 4 = x^2 \) \( \implies \) \( x = \pm 2 \). Асимптоты \( x=0 \) и \( y=-x \).

3) \( y = x - \frac{1}{\sqrt{x}} \).

Шаг 1: Область определения и асимптоты.

\( D(y): x > 0 \) (так как \( \sqrt{x} \) в знаменателе).

Вертикальная асимптота: \( x = 0 \). \( \lim_{x \to 0^+} y = -\infty \).

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y = x - x^{-1/2} \). \( y' = 1 - (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^3}} \).

Поскольку \( \frac{1}{2\sqrt{x^3}} > 0 \) для \( x > 0 \), то \( y' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^3}} > 1 \) для всех \( x > 0 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( y' > 0 \) для всех \( x > 0 \). Функция возрастает на всей области определения \( (0; +\infty) \).

Экстремумов нет.

Дополнительные точки (нули функции): \( x - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \) \( \implies \) \( x = \frac{1}{\sqrt{x}} \) \( \implies \) \( x\sqrt{x} = 1 \) \( \implies \) \( x^{3/2} = 1 \) \( \implies \) \( x = 1 \). \( y(1) = 0 \).

Эскиз: График начинается от \( -\infty \) при \( x \to 0^+ \), возрастает, пересекает ось \( x \) в \( x=1 \), и продолжает возрастать.

Что применять при решении

Признак возрастания/убывания функции

Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.

Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.

Точки экстремума

Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.

Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 51

923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.