ГДЗ: Упражнение 152 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательно: \( x+1 \ge 0 \), то есть \( x \ge -1 \).
• Шаг 2: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x+1})^2 = 3^2 \), что дает \( x+1 = 9 \).
• Шаг 3: Решаем линейное уравнение: \( x = 9 - 1 \), откуда \( x = 8 \).
• Шаг 4 (Проверка): Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ: \( 8 \ge -1 \) - верно. Подставим \( x=8 \) в исходное уравнение: \( \sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3 \). Получаем \( 3 = 3 \).

Ответ: \( 8 \)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( 2x-5 \ge 0 \), то есть \( x \ge 2.5 \).
• Шаг 2: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{2x-5})^2 = 5^2 \), что дает \( 2x-5 = 25 \).
• Шаг 3: Решаем линейное уравнение: \( 2x = 25 + 5 \), \( 2x = 30 \), откуда \( x = 15 \).
• Шаг 4 (Проверка): Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ: \( 15 \ge 2.5 \) - верно. Подставим \( x=15 \) в исходное уравнение: \( \sqrt{2\cdot 15 - 5} = \sqrt{30-5} = \sqrt{25} = 5 \). Получаем \( 5 = 5 \).

Ответ: \( 15 \)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( 4+x \ge 0 \) и \( 2x-1 \ge 0 \). Это дает \( x \ge -4 \) и \( x \ge 0.5 \). Общее ОДЗ: \( x \ge 0.5 \).
• Шаг 2: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{4+x})^2 = (\sqrt{2x-1})^2 \), что дает \( 4+x = 2x-1 \).
• Шаг 3: Решаем линейное уравнение: \( 4+1 = 2x - x \), откуда \( x = 5 \).
• Шаг 4 (Проверка): Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ: \( 5 \ge 0.5 \) - верно. Подставим \( x=5 \) в исходное уравнение: \( \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3 \) и \( \sqrt{2\cdot 5 - 1} = \sqrt{9} = 3 \). Получаем \( 3 = 3 \).

Ответ: \( 5 \)