Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 9 / Задание 159

ГДЗ: Упражнение 159 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 60, 62, 63
Глава: Глава 2
Параграф: § 9 - Иррациональные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

159 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( \sqrt{1-2x} - \sqrt{13+x} = \sqrt{x+4} \)

Решение:

  • Шаг 1: Находим ОДЗ: \( 1-2x \ge 0 \), \( 13+x \ge 0 \), \( x+4 \ge 0 \). Это дает \( x \le 0.5 \), \( x \ge -13 \), \( x \ge -4 \). Общее ОДЗ: \( -4 \le x \le 0.5 \).
  • Шаг 2: Изолируем корень: \( \sqrt{1-2x} = \sqrt{13+x} + \sqrt{x+4} \). (Правая часть неотрицательна).
  • Шаг 3: Возведем обе части в квадрат: \( 1-2x = (\sqrt{13+x} + \sqrt{x+4})^2 \). \( 1-2x = (13+x) + 2\sqrt{(13+x)(x+4)} + (x+4) \).
  • Шаг 4: Изолируем оставшийся корень: \( 1-2x = 17 + 2x + 2\sqrt{x^2 + 17x + 52} \). \( 2\sqrt{x^2 + 17x + 52} = 1-2x - 17 - 2x \), то есть \( 2\sqrt{x^2 + 17x + 52} = -16 - 4x \).
  • Шаг 5: Делим на 2: \( \sqrt{x^2 + 17x + 52} = -8 - 2x \).
  • Шаг 6: Условие равносильности: правая часть неотрицательна: \( -8 - 2x \ge 0 \), то есть \( 2x \le -8 \), откуда \( x \le -4 \).
  • Шаг 7: Ищем пересечение условий \( -4 \le x \le 0.5 \) (из шага 1) и \( x \le -4 \) (из шага 6). Единственное возможное решение: \( x = -4 \).
  • Шаг 8 (Проверка): Проверим \( x = -4 \) в исходном: \( \sqrt{1-2(-4)} - \sqrt{13+(-4)} = \sqrt{-4+4} \). \( \sqrt{9} - \sqrt{9} = \sqrt{0} \), то есть \( 3 - 3 = 0 \). Верно.

Ответ: \( -4 \)

2) \( \sqrt{7x+1} - \sqrt{6-x} = \sqrt{15+2x} \)

Решение:

  • Шаг 1: Находим ОДЗ: \( 7x+1 \ge 0 \), \( 6-x \ge 0 \), \( 15+2x \ge 0 \). Это дает \( x \ge -1/7 \), \( x \le 6 \), \( x \ge -7.5 \). Общее ОДЗ: \( -1/7 \le x \le 6 \).
  • Шаг 2: Изолируем корень: \( \sqrt{7x+1} = \sqrt{6-x} + \sqrt{15+2x} \). (Правая часть неотрицательна).
  • Шаг 3: Возведем обе части в квадрат: \( 7x+1 = (\sqrt{6-x} + \sqrt{15+2x})^2 \). \( 7x+1 = (6-x) + 2\sqrt{(6-x)(15+2x)} + (15+2x) \).
  • Шаг 4: Изолируем оставшийся корень: \( 7x+1 = 21 + x + 2\sqrt{90 + 12x - 15x - 2x^2} \). \( 2\sqrt{-2x^2 - 3x + 90} = 7x+1 - 21 - x \), то есть \( 2\sqrt{-2x^2 - 3x + 90} = 6x - 20 \).
  • Шаг 5: Делим на 2: \( \sqrt{-2x^2 - 3x + 90} = 3x - 10 \).
  • Шаг 6: Условие равносильности: правая часть неотрицательна: \( 3x - 10 \ge 0 \), то есть \( x \ge 10/3 \approx 3.33 \). Общее условие: \( 10/3 \le x \le 6 \).
  • Шаг 7: Возведем обе части в квадрат: \( -2x^2 - 3x + 90 = (3x - 10)^2 \). \( -2x^2 - 3x + 90 = 9x^2 - 60x + 100 \).
  • Шаг 8: Решаем квадратное уравнение: \( 11x^2 - 57x + 10 = 0 \). \( D = (-57)^2 - 4(11)(10) = 3249 - 440 = 2809 \). \( \sqrt{D} = 53 \).
  • Корни: \( x = \frac{57 \pm 53}{22} \). \( x_1 = \frac{110}{22} = 5 \), \( x_2 = \frac{4}{22} = \frac{2}{11} \).
  • Шаг 9 (Проверка): Проверяем условие \( 10/3 \le x \le 6 \):
    • Для \( x_1 = 5 \): \( 10/3 \le 5 \le 6 \) - верно. Проверка в исходном: \( \sqrt{36} - \sqrt{1} = \sqrt{25} \), то есть \( 6 - 1 = 5 \). Верно.
    • Для \( x_2 = 2/11 \): \( 2/11 \approx 0.18 \). \( 0.18 \le 10/3 \approx 3.33 \) - неверно. Корень \( x_2 \) - посторонний.

Ответ: \( 5 \)

Что применять при решении

Определение иррационального уравнения
Уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня, называются иррациональными уравнениями.
Например, \( \sqrt{x+1} = -1 \), \( 5\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = 4\sqrt{x} \).
Свойство возведения в степень
При возведении обеих частей уравнения \( f(x) = g(x) \) в натуральную степень \( n \) получается уравнение \( (f(x))^n = (g(x))^n \), которое является следствием данного уравнения.
Из \( f(x) = g(x) \) следует \( (f(x))^n = (g(x))^n \), где \( n \in \mathbb{N} \).
Посторонние корни и проверка
При возведении обеих частей уравнения в натуральную степень могут появиться посторонние корни, особенно при возведении в четную степень. Поэтому проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение обязательна.
Для уравнения \( \sqrt{6-x} = x \), возведение в квадрат дает \( 6-x = x^2 \), которое имеет корни \( x_1=2 \) и \( x_2=-3 \). Корень \( x_2=-3 \) является посторонним.
Условие равносильности
Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) неотрицательны на множестве X, то уравнение \( f(x) = g(x) \) равносильно уравнению \( (f(x))^n = (g(x))^n \) при \( n \in \mathbb{N} \).
Если \( f(x) \ge 0 \) и \( g(x) \ge 0 \), то \( \sqrt{f(x)} = g(x) \) равносильно системе \( \begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 9

151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.