ГДЗ: Упражнение 156 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( 2x-34 \ge 0 \) и \( x \ge 0 \). Это дает \( x \ge 17 \) и \( x \ge 0 \). Общее ОДЗ: \( x \ge 17 \). (Правая часть \( 1+\sqrt{x} \) неотрицательна).
• Шаг 2: Возведем обе части в квадрат: \( 2x-34 = (1 + \sqrt{x})^2 \), что дает \( 2x-34 = 1 + 2\sqrt{x} + x \).
• Шаг 3: Изолируем корень: \( 2\sqrt{x} = 2x - 34 - 1 - x \), то есть \( 2\sqrt{x} = x - 35 \).
• Шаг 4: Условие равносильности: \( x - 35 \ge 0 \), то есть \( x \ge 35 \). Общее условие: \( x \ge 35 \).
• Шаг 5: Возведем обе части в квадрат: \( (2\sqrt{x})^2 = (x-35)^2 \), что дает \( 4x = x^2 - 70x + 1225 \).
• Шаг 6: Решаем квадратное уравнение: \( x^2 - 74x + 1225 = 0 \). \( D = (-74)^2 - 4(1)(1225) = 5476 - 4900 = 576 \). \( \sqrt{D} = 24 \).
• Корни: \( x = \frac{74 \pm 24}{2} \). \( x_1 = \frac{98}{2} = 49 \), \( x_2 = \frac{50}{2} = 25 \).
• Шаг 7 (Проверка): Проверяем условие \( x \ge 35 \):
• Для \( x_1 = 49 \): \( 49 \ge 35 \) - верно. Проверка в исходном: \( \sqrt{2(49)-34} = \sqrt{98-34} = \sqrt{64} = 8 \). \( 1+\sqrt{49} = 1+7 = 8 \). Верно.
• Для \( x_2 = 25 \): \( 25 \ge 35 \) - неверно. Корень \( x_2 = 25 \) - посторонний.

Ответ: \( 49 \)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( 5x \ge 0 \) и \( 14-x \ge 0 \). Это дает \( x \ge 0 \) и \( x \le 14 \). Общее ОДЗ: \( 0 \le x \le 14 \).
• Шаг 2: Возведем обе части в квадрат: \( (\sqrt{5x} + \sqrt{14-x})^2 = 8^2 \), что дает \( 5x + 2\sqrt{5x(14-x)} + 14-x = 64 \).
• Шаг 3: Изолируем корень: \( 2\sqrt{70x - 5x^2} = 64 - 14 - 4x \), то есть \( 2\sqrt{70x - 5x^2} = 50 - 4x \), или \( \sqrt{70x - 5x^2} = 25 - 2x \).
• Шаг 4: Условие равносильности: \( 25 - 2x \ge 0 \), то есть \( 2x \le 25 \), откуда \( x \le 12.5 \). Общее условие: \( 0 \le x \le 12.5 \).
• Шаг 5: Возведем обе части в квадрат: \( 70x - 5x^2 = (25 - 2x)^2 \). \( 70x - 5x^2 = 625 - 100x + 4x^2 \).
• Шаг 6: Решаем квадратное уравнение: \( 9x^2 - 170x + 625 = 0 \). \( D = (-170)^2 - 4(9)(625) = 28900 - 22500 = 6400 \). \( \sqrt{D} = 80 \).
• Корни: \( x = \frac{170 \pm 80}{18} \). \( x_1 = \frac{250}{18} = \frac{125}{9} \approx 13.89 \), \( x_2 = \frac{90}{18} = 5 \).
• Шаг 7 (Проверка): Проверяем условие \( 0 \le x \le 12.5 \):
• Для \( x_1 = \frac{125}{9} \): \( \frac{125}{9} \approx 13.89 \). \( 13.89 \le 12.5 \) - неверно. Корень \( x_1 \) - посторонний.
• Для \( x_2 = 5 \): \( 0 \le 5 \le 12.5 \) - верно. Проверка в исходном: \( \sqrt{5(5)} + \sqrt{14-5} = \sqrt{25} + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8 \). Верно.

Ответ: \( 5 \)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( x \ge 0 \). (Обе части неотрицательны).
• Шаг 2: Возведем обе части в квадрат: \( (\sqrt{15} + \sqrt{x})^2 = (\sqrt{15+x})^2 \), что дает \( 15 + 2\sqrt{15x} + x = 15 + x \).
• Шаг 3: Упрощаем: \( 2\sqrt{15x} = 15 + x - 15 - x \), то есть \( 2\sqrt{15x} = 0 \).
• Шаг 4: Решаем иррациональное уравнение: \( \sqrt{15x} = 0 \). Возводим в квадрат: \( 15x = 0 \), откуда \( x = 0 \).
• Шаг 5 (Проверка): Проверим \( x=0 \) в исходном уравнении: \( \sqrt{15} + \sqrt{0} = \sqrt{15+0} \), что дает \( \sqrt{15} = \sqrt{15} \). Верно.

Ответ: \( 0 \)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( 3-2x \ge 0 \) и \( 1-x \ge 0 \). Это дает \( x \le 1.5 \) и \( x \le 1 \). Общее ОДЗ: \( x \le 1 \).
• Шаг 2: Изолируем один из корней: \( \sqrt{3-2x} = 1 + \sqrt{1-x} \). (Обе части неотрицательны).
• Шаг 3: Возведем обе части в квадрат: \( 3-2x = (1 + \sqrt{1-x})^2 \). \( 3-2x = 1 + 2\sqrt{1-x} + (1-x) \).
• Шаг 4: Изолируем оставшийся корень: \( 3-2x = 2 + 2\sqrt{1-x} - x \). \( 2\sqrt{1-x} = 3-2x - 2 + x \), то есть \( 2\sqrt{1-x} = 1 - x \).
• Шаг 5: Условие равносильности: \( 1 - x \ge 0 \), что совпадает с ОДЗ: \( x \le 1 \).
• Шаг 6: Возведем обе части в квадрат: \( (2\sqrt{1-x})^2 = (1-x)^2 \). \( 4(1-x) = (1-x)^2 \).
• Шаг 7: Решаем уравнение: \( (1-x)^2 - 4(1-x) = 0 \). Выносим общий множитель \( (1-x) \): \( (1-x) [ (1-x) - 4 ] = 0 \), то есть \( (1-x) (-3-x) = 0 \).
• Корни: \( 1-x = 0 \) (\( x_1 = 1 \)) и \( -3-x = 0 \) (\( x_2 = -3 \)).
• Шаг 8 (Проверка): Оба корня удовлетворяют условию \( x \le 1 \). Проверяем в исходном уравнении:
• Проверка \( x_1 = 1 \): \( \sqrt{3-2(1)} - \sqrt{1-1} = \sqrt{1} - 0 = 1 \). Получаем \( 1 = 1 \). Верно.
• Проверка \( x_2 = -3 \): \( \sqrt{3-2(-3)} - \sqrt{1-(-3)} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1 \). Получаем \( 1 = 1 \). Верно.

Ответ: \( 1; -3 \)