ГДЗ: Упражнение 162 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Рассмотрим функции \( y = \sqrt{x-6} \) и \( y = -x^2 \). Корни уравнения - это абсциссы точек пересечения их графиков.
• Шаг 2: Находим область определения для \( y = \sqrt{x-6} \): \( x-6 \ge 0 \), то есть \( x \ge 6 \). В этой области \( y \ge 0 \).
• Шаг 3: Анализируем функцию \( y = -x^2 \). Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат. Для \( x \ge 6 \) значения функции \( y = -x^2 \) отрицательны (\( y \le -36 \)).
• Шаг 4: Поскольку функция \( y = \sqrt{x-6} \) принимает только неотрицательные значения (\( y \ge 0 \)), а функция \( y = -x^2 \) принимает только отрицательные значения (\( y < 0 \)) в общей области определения (\( x \ge 6 \)), графики не пересекаются.

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как левая часть неотрицательна, а правая - отрицательна в области определения.

Решение:

• Шаг 1: Рассмотрим функции \( y = \sqrt{x} \) и \( y = (x-1)^2 \). Корни уравнения - это абсциссы точек пересечения их графиков.
• Шаг 2: Функция \( y = \sqrt{x} \) определена при \( x \ge 0 \). Это ветвь параболы, открытая вправо.
• Шаг 3: Функция \( y = (x-1)^2 \) - это парабола, смещенная на 1 вправо, с вершиной в точке \( (1, 0) \).
• Шаг 4: Проанализируем пересечения в области \( x \ge 0 \):
• При \( x=0 \): \( \sqrt{0} = 0 \), \( (0-1)^2 = 1 \). \( 0 \ne 1 \).
• При \( x=1 \): \( \sqrt{1} = 1 \), \( (1-1)^2 = 0 \). \( 1 \ne 0 \).
• При \( x=4 \): \( \sqrt{4} = 2 \), \( (4-1)^2 = 9 \). \( 2 \ne 9 \).
• При \( x = \phi^2 \approx 2.618^2 \approx 6.85 \).
• Шаг 5: Используем графическое представление. График \( y = \sqrt{x} \) начинается в \( (0,0) \) и медленно растет. График \( y = (x-1)^2 \) проходит через \( (0,1) \), \( (1,0) \), \( (2,1) \), \( (3,4) \). Изобразив графики, видно, что они пересекаются в двух точках. Один корень находится между 0 и 1, а другой - больше 1.

Ответ: Уравнение имеет два корня.

Решение:

• Шаг 1: Рассмотрим функции \( y = \sqrt{x+1} \) и \( y = x^2 - 7 \).
• Шаг 2: Функция \( y = \sqrt{x+1} \) определена при \( x \ge -1 \). \( y \ge 0 \).
• Шаг 3: Функция \( y = x^2 - 7 \) - это парабола, смещенная на 7 вниз, с вершиной в \( (0, -7) \).
• Шаг 4: График \( y = \sqrt{x+1} \) начинается в \( (-1, 0) \). График \( y = x^2 - 7 \) для \( x \ge -1 \) идет от \( (-1, -6) \) вверх.
• При \( x=3 \): \( \sqrt{3+1} = 2 \), \( 3^2-7 = 2 \). \( 2 = 2 \). Точка пересечения \( (3, 2) \).
• При \( x=-2.5 \): \( (-2.5)^2 - 7 = 6.25 - 7 = -0.75 \). \( \sqrt{-2.5+1} \) - не определен.
• Шаг 5: Сравнивая поведение функций (корень медленно растет, парабола растет быстро), и найдя одну точку пересечения \( x=3 \), и учитывая, что \( y = x^2 - 7 \) очень быстро обгоняет \( y = \sqrt{x+1} \), можно заключить, что есть только одна точка пересечения.

Ответ: Уравнение имеет один корень (\( x=3 \)).

Решение:

• Шаг 1: Рассмотрим функции \( y = x^3 - 1 \) и \( y = \sqrt{x} + 1 \).
• Шаг 2: Функция \( y = \sqrt{x} + 1 \) определена при \( x \ge 0 \). \( y \ge 1 \).
• Шаг 3: Функция \( y = x^3 - 1 \) - это кубическая парабола, смещенная на 1 вниз, проходящая через \( (0, -1) \) и \( (1, 0) \).
• Шаг 4: Проанализируем пересечения в области \( x \ge 0 \):
• При \( x=0 \): \( 0^3-1 = -1 \), \( \sqrt{0}+1 = 1 \). \( -1 \ne 1 \).
• При \( x=1 \): \( 1^3-1 = 0 \), \( \sqrt{1}+1 = 2 \). \( 0 \ne 2 \).
• При \( x=2 \): \( 2^3-1 = 7 \), \( \sqrt{2}+1 \approx 2.41 \). \( 7 \ne 2.41 \).
• Шаг 5: График \( y = x^3 - 1 \) начинает расти медленнее, чем \( y = \sqrt{x} + 1 \) вблизи \( x=0 \), но из-за кубической степени он очень быстро обгоняет корень. Должно быть только одно пересечение. (При \( x \approx 1.55 \) происходит пересечение).

Ответ: Уравнение имеет один корень.