Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 9 / Задание 161

ГДЗ: Упражнение 161 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 60, 62, 63
Глава: Глава 2
Параграф: § 9 - Иррациональные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

161 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( \sqrt[3]{x^3-2} = x-2 \)

Решение:

  • Шаг 1: Возведем обе части уравнения в куб: \( x^3 - 2 = (x-2)^3 \). (При нечетной степени посторонние корни не возникают).
  • Шаг 2: Раскрываем куб разности: \( x^3 - 2 = x^3 - 3x^2(2) + 3x(2^2) - 2^3 \). \( x^3 - 2 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \).
  • Шаг 3: Упрощаем и решаем квадратное уравнение: \( 0 = -6x^2 + 12x - 8 + 2 \). \( 0 = -6x^2 + 12x - 6 \). Делим на -6: \( x^2 - 2x + 1 = 0 \).
  • Шаг 4: Узнаем полный квадрат: \( (x-1)^2 = 0 \). Корень: \( x = 1 \).
  • Шаг 5 (Проверка): \( \sqrt[3]{1^3-2} = 1-2 \), \( \sqrt[3]{-1} = -1 \). Получаем \( -1 = -1 \). Верно.

Ответ: \( 1 \)

2) \( \sqrt[3]{x^3 - 5x^2 + 16x - 5} = x - 2 \)

Решение:

  • Шаг 1: Возведем обе части уравнения в куб: \( x^3 - 5x^2 + 16x - 5 = (x-2)^3 \).
  • Шаг 2: Раскрываем куб разности (см. предыдущий вариант): \( x^3 - 5x^2 + 16x - 5 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \).
  • Шаг 3: Упрощаем: \( x^3 - x^3 - 5x^2 + 6x^2 + 16x - 12x - 5 + 8 = 0 \). \( x^2 + 4x + 3 = 0 \).
  • Шаг 4: Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: \( x_1+x_2 = -4 \), \( x_1x_2 = 3 \). Корни: \( x_1 = -3 \), \( x_2 = -1 \).
  • Шаг 5 (Проверка): Оба корня удовлетворяют исходному уравнению, так как возведение в нечетную степень не порождает посторонних корней.

Ответ: \( -3; -1 \)

Что применять при решении

Определение иррационального уравнения
Уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня, называются иррациональными уравнениями.
Например, \( \sqrt{x+1} = -1 \), \( 5\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = 4\sqrt{x} \).
Свойство возведения в степень
При возведении обеих частей уравнения \( f(x) = g(x) \) в натуральную степень \( n \) получается уравнение \( (f(x))^n = (g(x))^n \), которое является следствием данного уравнения.
Из \( f(x) = g(x) \) следует \( (f(x))^n = (g(x))^n \), где \( n \in \mathbb{N} \).
Посторонние корни и проверка
При возведении обеих частей уравнения в натуральную степень могут появиться посторонние корни, особенно при возведении в четную степень. Поэтому проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение обязательна.
Для уравнения \( \sqrt{6-x} = x \), возведение в квадрат дает \( 6-x = x^2 \), которое имеет корни \( x_1=2 \) и \( x_2=-3 \). Корень \( x_2=-3 \) является посторонним.
Условие равносильности
Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) неотрицательны на множестве X, то уравнение \( f(x) = g(x) \) равносильно уравнению \( (f(x))^n = (g(x))^n \) при \( n \in \mathbb{N} \).
Если \( f(x) \ge 0 \) и \( g(x) \ge 0 \), то \( \sqrt{f(x)} = g(x) \) равносильно системе \( \begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 9

151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.