ГДЗ: Упражнение 157 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Сумма квадратных корней равна нулю только в том случае, если каждое подкоренное выражение равно нулю.
• Шаг 2: Находим ОДЗ: \( x^2+2 \ge 0 \) и \( x^2+x^3 \ge 0 \). Первое неравенство \( x^2+2 \ge 0 \) верно для всех \( x \in \mathbb{R} \). Второе неравенство \( x^2(1+x) \ge 0 \) равносильно \( 1+x \ge 0 \) (так как \( x^2 \ge 0 \)), то есть \( x \ge -1 \).
• Шаг 3: Приравниваем каждый корень к нулю:
• \( \sqrt{x^2+2} = 0 \). Возводим в квадрат: \( x^2+2 = 0 \). Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как \( x^2 = -2 \).
• Шаг 4: Поскольку первое условие \( \sqrt{x^2+2} = 0 \) не имеет решений, то и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: Корней нет

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( 1+x^4 \ge 0 \) и \( 1+x^2 \ge 0 \). Оба неравенства верны для всех \( x \in \mathbb{R} \) (т.к. \( x^4 \ge 0 \) и \( x^2 \ge 0 \)).
• Шаг 2: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( 1+x^4 = 1+x^2 \).
• Шаг 3: Решаем полученное уравнение: \( x^4 - x^2 = 0 \). Выносим общий множитель \( x^2 \): \( x^2 (x^2 - 1) = 0 \).
• Шаг 4: Разложим разность квадратов: \( x^2 (x-1) (x+1) = 0 \).
• Корни: \( x^2 = 0 \) (\( x_1 = 0 \)), \( x-1 = 0 \) (\( x_2 = 1 \)), \( x+1 = 0 \) (\( x_3 = -1 \)).
• Шаг 5 (Проверка): Все корни принадлежат ОДЗ. Проверка в исходном уравнении подтверждает их правильность.

Ответ: \( 0; 1; -1 \)