ГДЗ: Упражнение 164 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( 6x-9 \ge 0 \), то есть \( x \ge 1.5 \). Также необходимо, чтобы подкоренные выражения внешних корней были неотрицательны, но это будет следовать из преобразования.
• Шаг 2: Заметим, что \( 6x-9 = 9 + 6x - 18 = 9 + 6(x-3) \). Это не помогает.
• Шаг 3: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{A} + \sqrt{B})^2 = 6 \). \( A + B + 2\sqrt{AB} = 6 \).
• \( A + B = (x+\sqrt{6x-9}) + (x-\sqrt{6x-9}) = 2x \).
• \( AB = (x+\sqrt{6x-9})(x-\sqrt{6x-9}) = x^2 - (6x-9) = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \).
• Шаг 4: Подставляем в уравнение: \( 2x + 2\sqrt{(x-3)^2} = 6 \). \( 2x + 2|x-3| = 6 \). Делим на 2: \( x + |x-3| = 3 \).
• Шаг 5: Раскрываем модуль, учитывая ОДЗ \( x \ge 1.5 \).
• Случай 1: \( x-3 \ge 0 \), то есть \( x \ge 3 \). Тогда \( x + (x-3) = 3 \). \( 2x = 6 \), откуда \( x = 3 \). Условие \( x \ge 3 \) выполнено.
• Случай 2: \( x-3 < 0 \), то есть \( 1.5 \le x < 3 \). Тогда \( x - (x-3) = 3 \). \( x - x + 3 = 3 \). \( 3 = 3 \). Это тождество верно для всех \( x \) в интервале \( [1.5, 3) \).
• Шаг 6: Объединяем решения: \( x = 3 \) и \( 1.5 \le x < 3 \). Общее решение: \( 1.5 \le x \le 3 \).
• Шаг 7 (Проверка): Проверим, что при \( 1.5 \le x \le 3 \) подкоренные выражения неотрицательны. \( x \ge 1.5 \) гарантирует \( 6x-9 \ge 0 \). Также \( x \pm \sqrt{6x-9} \ge 0 \). Это равносильно \( x \ge \sqrt{6x-9} \). Возведем в квадрат: \( x^2 \ge 6x-9 \), то есть \( x^2 - 6x + 9 \ge 0 \), или \( (x-3)^2 \ge 0 \). Это верно для всех \( x \).

Ответ: \( [1.5; 3] \), или \( \left[\frac{3}{2}; 3\right] \)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( x+11 \ge 0 \), то есть \( x \ge -11 \). Также \( x \ge \sqrt{x+11} \). Условие равносильности: \( x \ge 0 \) и \( x^2 \ge x+11 \), то есть \( x^2 - x - 11 \ge 0 \). Нули: \( x = \frac{1 \pm \sqrt{1+44}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{45}}{2} \). \( \frac{1 + \sqrt{45}}{2} \approx 3.86 \). Общее ОДЗ: \( x \ge \frac{1 + \sqrt{45}}{2} \).
• Шаг 2: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{A} + \sqrt{B})^2 = 4^2 \). \( A + B + 2\sqrt{AB} = 16 \).
• \( A + B = (x+\sqrt{x+11}) + (x-\sqrt{x+11}) = 2x \).
• \( AB = (x+\sqrt{x+11})(x-\sqrt{x+11}) = x^2 - (x+11) = x^2 - x - 11 \).
• Шаг 3: Подставляем в уравнение: \( 2x + 2\sqrt{x^2 - x - 11} = 16 \). Делим на 2: \( x + \sqrt{x^2 - x - 11} = 8 \).
• Шаг 4: Изолируем корень: \( \sqrt{x^2 - x - 11} = 8 - x \).
• Шаг 5: Условие равносильности: \( 8 - x \ge 0 \), то есть \( x \le 8 \). Общее условие: \( \frac{1 + \sqrt{45}}{2} \le x \le 8 \). (\( 3.86 \le x \le 8 \)).
• Шаг 6: Возведем обе части в квадрат: \( x^2 - x - 11 = (8 - x)^2 \). \( x^2 - x - 11 = 64 - 16x + x^2 \).
• Шаг 7: Решаем линейное уравнение: \( -x - 11 = 64 - 16x \). \( 15x = 75 \), откуда \( x = 5 \).
• Шаг 8 (Проверка): Проверим условие: \( 3.86 \le 5 \le 8 \). Верно. Проверка в исходном: \( x=5 \). \( \sqrt{5+\sqrt{16}} + \sqrt{5-\sqrt{16}} = \sqrt{5+4} + \sqrt{5-4} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3+1 = 4 \). Верно.

Ответ: \( 5 \)