ГДЗ: Упражнение 155 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Перепишем уравнение: \( \sqrt{x} = x - 12 \). ОДЗ: \( x \ge 0 \).
• Шаг 2: Для равносильности необходимо, чтобы правая часть была неотрицательна: \( x - 12 \ge 0 \), то есть \( x \ge 12 \).
• Шаг 3: Возведем обе части в квадрат: \( (\sqrt{x})^2 = (x-12)^2 \), что дает \( x = x^2 - 24x + 144 \).
• Шаг 4: Решаем квадратное уравнение: \( x^2 - 25x + 144 = 0 \). Дискриминант \( D = (-25)^2 - 4(1)(144) = 625 - 576 = 49 \).
• Корни: \( x = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{25 \pm 7}{2} \). \( x_1 = \frac{32}{2} = 16 \), \( x_2 = \frac{18}{2} = 9 \).
• Шаг 5 (Проверка): Проверяем условие \( x \ge 12 \):
• Для \( x_1 = 16 \): \( 16 \ge 12 \) - верно. Проверка в исходном: \( \sqrt{16} - 16 = 4 - 16 = -12 \). Верно.
• Для \( x_2 = 9 \): \( 9 \ge 12 \) - неверно. Корень \( x_2 = 9 \) - посторонний.

Ответ: \( 16 \)

Решение:

• Шаг 1: Перепишем уравнение: \( \sqrt{x} = 2x - 2 - x \), что равносильно \( \sqrt{x} = x - 2 \). ОДЗ: \( x \ge 0 \).
• Шаг 2: Для равносильности необходимо, чтобы правая часть была неотрицательна: \( x - 2 \ge 0 \), то есть \( x \ge 2 \).
• Шаг 3: Возведем обе части в квадрат: \( x = (x-2)^2 \), что дает \( x = x^2 - 4x + 4 \).
• Шаг 4: Решаем квадратное уравнение: \( x^2 - 5x + 4 = 0 \). По теореме Виета или через дискриминант: \( D = 25 - 16 = 9 \).
• Корни: \( x = \frac{5 \pm 3}{2} \). \( x_1 = \frac{8}{2} = 4 \), \( x_2 = \frac{2}{2} = 1 \).
• Шаг 5 (Проверка): Проверяем условие \( x \ge 2 \):
• Для \( x_1 = 4 \): \( 4 \ge 2 \) - верно. Проверка в исходном: \( \sqrt{4} = 4 - 2 \), \( 2 = 2 \). Верно.
• Для \( x_2 = 1 \): \( 1 \ge 2 \) - неверно. Корень \( x_2 = 1 \) - посторонний.

Ответ: \( 4 \)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( x-1 \ge 0 \), то есть \( x \ge 1 \). Условие равносильности: \( x - 3 \ge 0 \), то есть \( x \ge 3 \). Общее условие: \( x \ge 3 \).
• Шаг 2: Возведем обе части в квадрат: \( x-1 = (x-3)^2 \), что дает \( x-1 = x^2 - 6x + 9 \).
• Шаг 3: Решаем квадратное уравнение: \( x^2 - 7x + 10 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 7 \), \( x_1 x_2 = 10 \). Корни: \( x_1 = 5 \), \( x_2 = 2 \).
• Шаг 4 (Проверка): Проверяем условие \( x \ge 3 \):
• Для \( x_1 = 5 \): \( 5 \ge 3 \) - верно. Проверка в исходном: \( \sqrt{5-1} = 5 - 3 \), \( \sqrt{4} = 2 \), \( 2 = 2 \). Верно.
• Для \( x_2 = 2 \): \( 2 \ge 3 \) - неверно. Корень \( x_2 = 2 \) - посторонний.

Ответ: \( 5 \)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( x \ge 0 \). Условие равносильности: \( 1-x \ge 0 \), то есть \( x \le 1 \). Общее условие: \( 0 \le x \le 1 \).
• Шаг 2: Возведем обе части в квадрат: \( 6 + \sqrt{x} = (1-x)^2 \), что дает \( 6 + \sqrt{x} = 1 - 2x + x^2 \).
• Шаг 3: Выразим корень: \( \sqrt{x} = x^2 - 2x + 1 - 6 \), то есть \( \sqrt{x} = x^2 - 2x - 5 \).
• Шаг 4: Установим новое условие неотрицательности для равносильности: \( x^2 - 2x - 5 \ge 0 \).
• Шаг 5: Находим нули квадратного трехчлена \( x^2 - 2x - 5 = 0 \): \( D = 4 - 4(1)(-5) = 24 \). \( x = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6} \). \( 1+\sqrt{6} \approx 3.45 \), \( 1-\sqrt{6} \approx -1.45 \).
• Неравенство \( x^2 - 2x - 5 \ge 0 \) выполняется при \( x \le 1-\sqrt{6} \) или \( x \ge 1+\sqrt{6} \).
• Учитывая общее условие \( 0 \le x \le 1 \), видим, что нет значений \( x \) в интервале \( [0, 1] \) таких, что \( x \le 1-\sqrt{6} \) или \( x \ge 1+\sqrt{6} \).
• Таким образом, нет решений, удовлетворяющих всем условиям.

Ответ: Корней нет