Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 20 / Задание 354

ГДЗ: Упражнение 354 - § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 109, 111, 112
Глава: Глава 4
Параграф: § 20 - Логарифмические неравенства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

354 упражнение:

Найти область определения функции:

1) \( y = \lg (3x - 2) \)

Область определения логарифмической функции. Функция \( y = \lg (3x - 2) \) определена, когда её аргумент (выражение под логарифмом) строго положителен:

  • 1. Условие: Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( 3x - 2 > 0 \).
  • 2. Решение неравенства: Перенесём константу в правую часть: \( 3x > 2 \).
  • 3. Окончательное решение: Разделим на 3: \( x > \frac{2}{3} \).

Ответ: Область определения функции: \( D(y) = (\frac{2}{3}; +\infty) \).

2) \( y = \log_2 (7 - 5x) \)

Область определения логарифмической функции. Функция \( y = \log_2 (7 - 5x) \) определена, когда её аргумент строго положителен:

  • 1. Условие: Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( 7 - 5x > 0 \).
  • 2. Решение неравенства: Перенесём \( 7 \) в правую часть: \( -5x > -7 \).
  • 3. Окончательное решение: Разделим на \( -5 \). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется: \( x < \frac{-7}{-5} \rightarrow x < \frac{7}{5} \).

Ответ: Область определения функции: \( D(y) = (-\infty; \frac{7}{5}) \).

3) \( y = \log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 2) \)

Область определения логарифмической функции. Функция определена, когда аргумент логарифма строго положителен:

  • 1. Условие: Аргумент логарифма: \( x^2 - 2 > 0 \).
  • 2. Решение неравенства: Разложим разность квадратов: \( (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0 \).
  • 3. Метод интервалов: Корни квадратного трёхчлена: \( x_1 = -\sqrt{2} \) и \( x_2 = \sqrt{2} \). Поскольку парабола \( y = x^2 - 2 \) направлена ветвями вверх, выражение положительно вне корней.

Ответ: Область определения функции: \( D(y) = (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty) \).

4) \( y = \log_7 (4 - x^2) \)

Область определения логарифмической функции. Функция определена, когда аргумент логарифма строго положителен:

  • 1. Условие: Аргумент логарифма: \( 4 - x^2 > 0 \).
  • 2. Решение неравенства: Перенесём \( x^2 \) в правую часть: \( 4 > x^2 \) или \( x^2 < 4 \).
  • 3. Окончательное решение: Это неравенство эквивалентно двойному неравенству: \( -\sqrt{4} < x < \sqrt{4} \rightarrow -2 < x < 2 \).

Ответ: Область определения функции: \( D(y) = (-2; 2) \).

Что применять при решении

Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a f(x) \) определена только при условии, что её аргумент \( f(x) \) строго положителен, то есть \( f(x) > 0 \). Это условие является обязательным при решении логарифмических уравнений и неравенств.
\( \log_a f(x) \rightarrow f(x) > 0 \)
Свойство логарифмической функции (основание a > 1)
Если основание логарифма \( a > 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства сохраняется.
Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( a > 1 \), то \( f(x) > g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).
Свойство логарифмической функции (основание 0 < a < 1)
Если основание логарифма \( 0 < a < 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является убывающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства меняется на противоположный.
Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( 0 < a < 1 \), то \( f(x) < g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).
Свойство логарифмов: сумма логарифмов
Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов. Применяется для преобразования левой части неравенства к одному логарифму.
\( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
Свойство логарифмов: частное логарифмов
Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного их аргументов.
\( \log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y}) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
Замена числа логарифмом
Любое число \( b \) может быть представлено в виде логарифма с основанием \( a \): \( b = \log_a a^b \). Это часто используется для приведения обеих частей неравенства к одному логарифму.
\( b = \log_a a^b \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 20

354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.