ГДЗ: Упражнение 367 - § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Преобразование. Задание, вероятно, содержит опечатку. Предположим, оно имело вид (или что-то близкое): \( 4^x (\sqrt{16^x} - 1 + 2) < 4|4^x - 1| \).

Решение при допущении: \( 4^x (\sqrt{16^x} + 1) < 4|4^x - 1| \).

• а) Замена: \( t = 4^x \). Так как \( 4^x > 0 \), то \( t > 0 \). \(\sqrt{16^x} = \sqrt{(4^x)^2} = 4^x = t \). Неравенство: \( t(t + 1) < 4|t - 1| \).
• б) Случай 1: \( t \ge 1 \), т.е. \( 4^x \ge 1 \rightarrow x \ge 0 \). Неравенство: \( t(t + 1) < 4(t - 1) \rightarrow t^2 + t < 4t - 4 \rightarrow t^2 - 3t + 4 < 0 \). Дискриминант: \( D = 9 - 16 = -7 \). Поскольку \( D < 0 \) и коэффициент при \( t^2 \) положителен, \( t^2 - 3t + 4 \) всегда положителен. Решений нет.
• в) Случай 2: \( 0 < t < 1 \), т.е. \( 4^x < 1 \rightarrow x < 0 \). Неравенство: \( t(t + 1) < 4(-(t - 1)) \rightarrow t^2 + t < -4t + 4 \rightarrow t^2 + 5t - 4 < 0 \). Корни \( t^2 + 5t - 4 = 0 \): \( t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(-4)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2} \). \( t_1 \approx -5.7 \), \( t_2 \approx 0.7 \). Неравенство: \( t_1 < t < t_2 \).
• г) Учёт условий: \( 0 < t < 1 \) и \( t_1 < t < t_2 \). Пересечение: \( 0 < t < \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} \).
• д) Обратная замена: \( 4^x < \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} \). Логарифмируем по основанию 4: \( x < \log_4 \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} \).

е) Окончательный ответ. Объединяем с \( x < 0 \). Поскольку \( \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} \approx 0.7 > 0 \rightarrow \log_4 (0.7) < 0 \), то \( x < \log_4 \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} \) полностью удовлетворяет \( x < 0 \).

Ответ (на основе допущения): \( (-\infty; \log_4 \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}) \).