ГДЗ: Упражнение 361 - § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Приведение к логарифмическому виду. \( 0 = \lg 1 \). Неравенство: \( \lg (x^2 - 8x + 13) > \lg 1 \).

2. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = 10 > 1 \), знак сохраняется:

• а) \( x^2 - 8x + 13 > 1 \rightarrow x^2 - 8x + 12 > 0 \).
• б) Корни \( x^2 - 8x + 12 = 0 \): \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 6 \).
• в) Неравенство: \( x < 2 \) или \( x > 6 \).

3. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент \( x^2 - 8x + 13 > 0 \) должен быть положителен, но это условие уже учтено в \( x^2 - 8x + 13 > 1 \). Если \( x^2 - 8x + 13 > 1 \), то автоматически \( x^2 - 8x + 13 > 0 \). Таким образом, достаточно решения неравенства в п. 2.

Ответ: \( (-\infty; 2) \cup (6; +\infty) \).

1. Приведение к логарифмическому виду. \( 0 = \log_{\frac{1}{2}} 1 \). Неравенство: \( \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 5x + 7) < \log_{\frac{1}{2}} 1 \).

2. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = \frac{1}{2} \). Так как \( 0 < a < 1 \), знак неравенства меняется на \( > \): \( x^2 - 5x + 7 > 1 \).

• а) \( x^2 - 5x + 6 > 0 \).
• б) Корни \( x^2 - 5x + 6 = 0 \): \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 3 \).
• в) Неравенство: \( x < 2 \) или \( x > 3 \).

3. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент \( x^2 - 5x + 7 > 0 \) должен быть положителен. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 7 = 25 - 28 = -3 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен, \( x^2 - 5x + 7 \) положительно для всех \( x \in \mathbb{R} \). Условие ОДЗ выполняется всегда.

Ответ: \( (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент: \( x^2 + 2x > 0 \rightarrow x(x + 2) > 0 \). \( x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \).

2. Приведение к логарифмическому виду. \( 3 = \log_2 2^3 = \log_2 8 \). Неравенство: \( \log_2 (x^2 + 2x) < \log_2 8 \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = 2 > 1 \), знак сохраняется: \( x^2 + 2x < 8 \).

• а) \( x^2 + 2x - 8 < 0 \).
• б) Корни \( x^2 + 2x - 8 = 0 \): \( x_1 = -4 \), \( x_2 = 2 \).
• в) Неравенство: \( -4 < x < 2 \).

4. Учёт ОДЗ. Объединим \( x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \) с \( x \in (-4; 2) \).

• а) Пересечение \( (-4; 2) \) и \( (-\infty; -2) \): \( (-4; -2) \).
• б) Пересечение \( (-4; 2) \) и \( (0; +\infty) \): \( (0; 2) \).

Ответ: \( (-4; -2) \cup (0; 2) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент: \( x^2 - 5x - 6 > 0 \). Корни \( x^2 - 5x - 6 = 0 \): \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 6 \). \( x \in (-\infty; -1) \cup (6; +\infty) \).

2. Приведение к логарифмическому виду. \( -3 = \log_4 4^{-3} = \log_4 \frac{1}{64} \). Неравенство: \( \log_4 (x^2 - 5x - 6) > \log_4 \frac{1}{64} \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = 4 > 1 \), знак сохраняется: \( x^2 - 5x - 6 > \frac{1}{64} \).

• а) \( x^2 - 5x - 6 - \frac{1}{64} > 0 \rightarrow x^2 - 5x - \frac{385}{64} > 0 \).
• б) Найдём корни: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\frac{385}{64}) = 25 + \frac{385}{16} = \frac{400 + 385}{16} = \frac{785}{16} \). \( x = \frac{5 \pm \sqrt{785}/4}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{785}}{8} \). Корни: \( x_1 = \frac{20 - \sqrt{785}}{8} \approx -0.98 \), \( x_2 = \frac{20 + \sqrt{785}}{8} \approx 5.98 \).
• в) Неравенство: \( x < \frac{20 - \sqrt{785}}{8} \) или \( x > \frac{20 + \sqrt{785}}{8} \).

4. Учёт ОДЗ. \( x \in (-\infty; -1) \cup (6; +\infty) \).

• а) \( x_1 \approx -0.98 \). Пересечение \( x < -0.98 \) с \( x < -1 \) дает \( x < -1 \).
• б) \( x_2 \approx 5.98 \). Пересечение \( x > 5.98 \) с \( x > 6 \) дает \( x > 6 \).

Ответ: \( (-\infty; -1) \cup (6; +\infty) \). (Так как \( x^2 - 5x - 6 > 1/64 \) почти эквивалентно \( x^2 - 5x - 6 > 0 \)).