Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 20 / Задание 366

ГДЗ: Упражнение 366 - § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 109, 111, 112
Глава: Глава 4
Параграф: § 20 - Логарифмические неравенства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

366 упражнение:

Решить неравенство (359–367).

1) \( \frac{2}{3^x - 1} < \frac{7}{9^x - 2} \)

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не равны нулю: \( 3^x - 1 \ne 0 \rightarrow 3^x \ne 1 \rightarrow x \ne 0 \); \( 9^x - 2 \ne 0 \rightarrow (3^x)^2 \ne 2 \rightarrow 3^x \ne \sqrt{2} \rightarrow x \ne \log_3 \sqrt{2} \).

2. Замена. Пусть \( t = 3^x \). ОДЗ: \( t \ne 1 \), \( t \ne \sqrt{2} \). Так как \( 3^x > 0 \), то \( t > 0 \). Неравенство: \( \frac{2}{t - 1} < \frac{7}{t^2 - 2} \).

  • а) \( \frac{2}{t - 1} - \frac{7}{t^2 - 2} < 0 \rightarrow \frac{2(t^2 - 2) - 7(t - 1)}{(t - 1)(t^2 - 2)} < 0 \).
  • б) \( \frac{2t^2 - 4 - 7t + 7}{(t - 1)(t^2 - 2)} < 0 \rightarrow \frac{2t^2 - 7t + 3}{(t - 1)(t - \sqrt{2})(t + \sqrt{2})} < 0 \).

3. Критические точки.

  • а) Числитель: \( 2t^2 - 7t + 3 = 0 \). \( D = 49 - 24 = 25 \). \( t_{1,2} = \frac{7 \pm 5}{4} \). \( t_1 = \frac{1}{2} \), \( t_2 = 3 \).
  • б) Знаменатель: \( t_3 = 1 \), \( t_4 = \sqrt{2} \approx 1.41 \), \( t_5 = -\sqrt{2} \).

4. Решение методом интервалов. Рассмотрим точки \( -\sqrt{2}, \frac{1}{2}, 1, \sqrt{2}, 3 \). На интервалах: \( (-\infty; -\sqrt{2}) (- \sqrt{2}; 1/2) (1/2; 1) (1; \sqrt{2}) (\sqrt{2}; 3) (3; +\infty) \). С учетом \( t > 0 \), нас интересуют интервалы: \( (0; 1/2) \cup (1; \sqrt{2}) \cup (3; +\infty) \).

  • При \( t = 0.1 \): \( \frac{+}{- \cdot - \cdot +} = + \). Знак: \( (0; 1/2) \rightarrow + \).
  • При \( t = 0.8 \): \( \frac{-}{- \cdot - \cdot +} = - \). Знак: \( (1/2; 1) \rightarrow - \).
  • При \( t = 1.1 \): \( \frac{-}{+ \cdot - \cdot +} = + \). Знак: \( (1; \sqrt{2}) \rightarrow + \).
  • При \( t = 2 \): \( \frac{-}{+ \cdot + \cdot +} = - \). Знак: \( (\sqrt{2}; 3) \rightarrow - \).
  • При \( t = 4 \): \( \frac{+}{+ \cdot + \cdot +} = + \). Знак: \( (3; +\infty) \rightarrow + \).

Нам нужно \( < 0 \): \( (1/2; 1) \cup (\sqrt{2}; 3) \).

5. Обратная замена. \( t = 3^x \).

  • а) \( \frac{1}{2} < 3^x < 1 \). \( 3^{\log_3 \frac{1}{2}} < 3^x < 3^0 \). Основание \( 3 > 1 \), знак сохраняется: \( \log_3 \frac{1}{2} < x < 0 \).
  • б) \( \sqrt{2} < 3^x < 3 \). \( 3^{\log_3 \sqrt{2}} < 3^x < 3^1 \). \( \log_3 \sqrt{2} < x < 1 \).

Ответ: \( (\log_3 \frac{1}{2}; 0) \cup (\log_3 \sqrt{2}; 1) \).

Что применять при решении

Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a f(x) \) определена только при условии, что её аргумент \( f(x) \) строго положителен, то есть \( f(x) > 0 \). Это условие является обязательным при решении логарифмических уравнений и неравенств.
\( \log_a f(x) \rightarrow f(x) > 0 \)
Свойство логарифмической функции (основание a > 1)
Если основание логарифма \( a > 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства сохраняется.
Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( a > 1 \), то \( f(x) > g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).
Свойство логарифмической функции (основание 0 < a < 1)
Если основание логарифма \( 0 < a < 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является убывающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства меняется на противоположный.
Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( 0 < a < 1 \), то \( f(x) < g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).
Свойство логарифмов: сумма логарифмов
Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов. Применяется для преобразования левой части неравенства к одному логарифму.
\( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
Свойство логарифмов: частное логарифмов
Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного их аргументов.
\( \log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y}) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
Замена числа логарифмом
Любое число \( b \) может быть представлено в виде логарифма с основанием \( a \): \( b = \log_a a^b \). Это часто используется для приведения обеих частей неравенства к одному логарифму.
\( b = \log_a a^b \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 20

354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.