ГДЗ: Упражнение 357 - § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Преобразование и ОДЗ. Задание 357.1 имеет опечатку (разные основания логарифмов и \( \lg 1 = 0 \)) и должно быть, скорее всего, из другой части учебника (номера 356.1, 356.2, 356.3, 356.4). Решим, исходя из того, что, возможно, имелось в виду задание 356.1: \( \lg x > \lg 8 + 1 \) (с учетом типографских ошибок, где "lg 8 + 1" может быть "lg 8x" или \( \lg (8x) \) или \( \lg x > \lg 8 + \lg 10 \)).

Решение задания 356.1: \( \lg x > \lg 8 + 1 \).

• а) ОДЗ: \( x > 0 \).
• б) Приведение к логарифмическому виду: \( 1 = \lg 10 \). Неравенство: \( \lg x > \lg 8 + \lg 10 \).
• в) Свойство логарифмов: Сумма логарифмов: \( \lg 8 + \lg 10 = \lg (8 \cdot 10) = \lg 80 \). Неравенство: \( \lg x > \lg 80 \).
• г) Решение: Основание \( a = 10 > 1 \), знак сохраняется: \( x > 80 \).
• д) Учёт ОДЗ: \( x > 80 \) полностью удовлетворяет \( x > 0 \).

Ответ на 356.1: \( (80; +\infty) \).

Решение задания 356.2: \( \log_2 (x - 4) < 1 \).

• а) ОДЗ: \( x - 4 > 0 \rightarrow x > 4 \).
• б) Приведение к логарифмическому виду: \( 1 = \log_2 2 \). Неравенство: \( \log_2 (x - 4) < \log_2 2 \).
• в) Решение: Основание \( a = 2 > 1 \), знак сохраняется: \( x - 4 < 2 \rightarrow x < 6 \).
• г) Учёт ОДЗ: Объединим \( x > 4 \) и \( x < 6 \): \( 4 < x < 6 \).

Ответ на 356.2: \( (4; 6) \).

Решение задания 356.3: \( \lg x > 2 - \lg 4 \).

• а) ОДЗ: \( x > 0 \).
• б) Преобразование: Перенесём \( -\lg 4 \) в левую часть: \( \lg x + \lg 4 > 2 \).
• в) Свойство логарифмов: Сумма логарифмов: \( \lg (4x) > 2 \).
• г) Приведение к логарифмическому виду: \( 2 = \lg 10^2 = \lg 100 \). Неравенство: \( \lg (4x) > \lg 100 \).
• д) Решение: Основание \( a = 10 > 1 \), знак сохраняется: \( 4x > 100 \rightarrow x > 25 \).
• е) Учёт ОДЗ: \( x > 25 \) удовлетворяет \( x > 0 \).

Ответ на 356.3: \( (25; +\infty) \).

Решение задания 356.4: \( \log_2 (3x - 5) > \log_2 (x + 1) \).

• а) ОДЗ: Должны быть положительны оба аргумента: \begin{cases} 3x - 5 > 0 \ x + 1 > 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x > 5/3 \ x > -1 \end{cases} \rightarrow x > 5/3 \).
• б) Решение: Основание \( a = 2 > 1 \), знак сохраняется. Сравниваем аргументы (с учётом ОДЗ): \( 3x - 5 > x + 1 \).
• в) \( 3x - x > 1 + 5 \rightarrow 2x > 6 \rightarrow x > 3 \).
• г) Учёт ОДЗ: Объединим \( x > 5/3 \) (т.е. \( x > 1.66... \)) и \( x > 3 \). Пересечение: \( x > 3 \).

Ответ на 356.4: \( (3; +\infty) \).

***

Решение задания 357.1 (из учебника). \( \log_{\frac{1}{5}} (x - 3) + \log_{\frac{1}{5}} (x - 5) < -1 \).

• а) ОДЗ: \begin{cases} x - 3 > 0 \ x - 5 > 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x > 3 \ x > 5 \end{cases} \rightarrow x > 5 \).
• б) Свойство логарифмов: Сумма логарифмов: \( \log_{\frac{1}{5}} ((x - 3)(x - 5)) < -1 \).
• в) Приведение к логарифмическому виду: \( -1 = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5})^{-1} = \log_{\frac{1}{5}} 5 \). Неравенство: \( \log_{\frac{1}{5}} (x^2 - 8x + 15) < \log_{\frac{1}{5}} 5 \).
• г) Решение: Основание \( a = \frac{1}{5} \). Так как \( 0 < a < 1 \), знак неравенства меняется на \( > \): \( x^2 - 8x + 15 > 5 \).
• д) \( x^2 - 8x + 10 > 0 \). Найдём корни: \( x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 40}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2} = 4 \pm \sqrt{6} \). Приближённо \( \sqrt{6} \approx 2.45 \), корни: \( x_1 \approx 1.55 \) и \( x_2 \approx 6.45 \). Парабола ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 8x + 10 > 0 \) при \( x < 4 - \sqrt{6} \) или \( x > 4 + \sqrt{6} \).
• е) Учёт ОДЗ: Объединим \( x > 5 \) и \( x \in (-\infty; 4 - \sqrt{6}) \cup (4 + \sqrt{6}; +\infty) \). Так как \( 4 - \sqrt{6} \approx 1.55 < 5 \) и \( 4 + \sqrt{6} \approx 6.45 > 5 \), то пересечение: \( x > 4 + \sqrt{6} \).

Ответ на 357.1: \( (4 + \sqrt{6}; +\infty) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ). \begin{cases} x - 2 > 0 \ 12 - x > 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x > 2 \ x < 12 \end{cases} \rightarrow 2 < x < 12 \).

2. Свойство логарифмов. Сумма логарифмов: \( \log_{\frac{1}{2}} ((x - 2)(12 - x)) \ge -2 \).

3. Приведение к логарифмическому виду. \( -2 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-2} = \log_{\frac{1}{2}} 4 \). Неравенство: \( \log_{\frac{1}{2}} (12x - x^2 - 24 + 2x) \ge \log_{\frac{1}{2}} 4 \), т.е. \( \log_{\frac{1}{2}} (-x^2 + 14x - 24) \ge \log_{\frac{1}{2}} 4 \).

4. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = \frac{1}{2} \). Так как \( 0 < a < 1 \), знак неравенства меняется на \( \le \): \( -x^2 + 14x - 24 \le 4 \).

• а) \( -x^2 + 14x - 28 \le 0 \), или \( x^2 - 14x + 28 \ge 0 \).
• б) Найдём корни: \( D = 14^2 - 4 \cdot 28 = 196 - 112 = 84 \). \( x = \frac{14 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{14 \pm 2\sqrt{21}}{2} = 7 \pm \sqrt{21} \).
• в) Парабола \( y = x^2 - 14x + 28 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 14x + 28 \ge 0 \) при \( x \le 7 - \sqrt{21} \) или \( x \ge 7 + \sqrt{21} \).

5. Учёт ОДЗ. \( \sqrt{21} \approx 4.58 \). Корни: \( x_1 \approx 7 - 4.58 = 2.42 \), \( x_2 \approx 7 + 4.58 = 11.58 \). Интервал ОДЗ: \( (2; 12) \).

• а) \( 7 - \sqrt{21} \approx 2.42 \). Условие \( x \le 7 - \sqrt{21} \) в ОДЗ даёт: \( 2 < x \le 7 - \sqrt{21} \).
• б) \( 7 + \sqrt{21} \approx 11.58 \). Условие \( x \ge 7 + \sqrt{21} \) в ОДЗ даёт: \( 7 + \sqrt{21} \le x < 12 \).

Ответ на 357.2: \( (2; 7 - \sqrt{21}] \cup [7 + \sqrt{21}; 12) \).