ГДЗ: Упражнение 356 - § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма: \( 3 - 3x > 0 \rightarrow -3x > -3 \rightarrow x < 1 \).

2. Приведение к логарифмическому виду. Представим \( -1 \) как \( \log_{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4})^{-1} = \log_{\frac{1}{4}} 4 \). Неравенство: \( \log_{\frac{1}{4}} (3 - 3x) \ge \log_{\frac{1}{4}} 4 \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = \frac{1}{4} \). Так как \( 0 < a < 1 \), функция убывающая, и знак неравенства меняется: \( \ge \) меняется на \( \le \):

• а) \( 3 - 3x \le 4 \)
• б) \( -3x \le 4 - 3 \rightarrow -3x \le 1 \)
• в) Разделим на \( -3 \), меняя знак неравенства: \( x \ge -\frac{1}{3} \)

4. Учёт ОДЗ. Объединим \( x < 1 \) и \( x \ge -\frac{1}{3} \): \( -\frac{1}{3} \le x < 1 \).

Ответ: \( [-\frac{1}{3}; 1) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма: \( 2 - 5x > 0 \rightarrow -5x > -2 \rightarrow x < \frac{2}{5} \).

2. Приведение к логарифмическому виду. Представим \( -2 \) как \( \log_2 2^{-2} = \log_2 \frac{1}{4} \). Неравенство: \( \log_2 (2 - 5x) < \log_2 \frac{1}{4} \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = 2 > 1 \), функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

• а) \( 2 - 5x < \frac{1}{4} \)
• б) \( -5x < \frac{1}{4} - 2 \rightarrow -5x < \frac{1}{4} - \frac{8}{4} \rightarrow -5x < -\frac{7}{4} \)
• в) Разделим на \( -5 \), меняя знак неравенства: \( x > \frac{-7}{-4 \cdot 5} \rightarrow x > \frac{7}{20} \)

4. Учёт ОДЗ. Объединим \( x < \frac{2}{5} \) и \( x > \frac{7}{20} \). Так как \( \frac{2}{5} = \frac{8}{20} \), имеем \( \frac{7}{20} < x < \frac{8}{20} \).

Ответ: \( (\frac{7}{20}; \frac{2}{5}) \).