ГДЗ: Упражнение 355 - § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: \( x + 2 > 0 \rightarrow x > -2 \).

2. Приведение к логарифмическому виду. Представим число \( 3 \) в виде логарифма по основанию \( 3 \): \( 3 = \log_3 3^3 = \log_3 27 \). Неравенство примет вид: \( \log_3 (x + 2) < \log_3 27 \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание логарифма \( a = 3 > 1 \), следовательно, функция возрастающая и знак неравенства сохраняется:

• а) \( x + 2 < 27 \)
• б) \( x < 27 - 2 \rightarrow x < 25 \)

4. Учёт ОДЗ. Объединим условие \( x > -2 \) и решение \( x < 25 \): \( -2 < x < 25 \).

Ответ: \( (-2; 25) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: \( 4 - 2x > 0 \rightarrow -2x > -4 \rightarrow x < 2 \).

2. Приведение к логарифмическому виду. Представим число \( 2 \) в виде логарифма по основанию \( 8 \): \( 2 = \log_8 8^2 = \log_8 64 \). Неравенство: \( \log_8 (4 - 2x) \ge \log_8 64 \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = 8 > 1 \), знак неравенства сохраняется:

• а) \( 4 - 2x \ge 64 \)
• б) \( -2x \ge 64 - 4 \rightarrow -2x \ge 60 \)
• в) Разделим на \( -2 \), меняя знак неравенства: \( x \le -30 \)

4. Учёт ОДЗ. Объединим условие \( x < 2 \) и решение \( x \le -30 \). Пересечение этих условий: \( x \le -30 \).

Ответ: \( (-\infty; -30] \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма: \( x + 1 > 0 \rightarrow x > -1 \).

2. Приведение к логарифмическому виду. Представим число \( -2 \) в виде логарифма по основанию \( 3 \): \( -2 = \log_3 3^{-2} = \log_3 \frac{1}{9} \). Неравенство: \( \log_3 (x + 1) < \log_3 \frac{1}{9} \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = 3 > 1 \), знак неравенства сохраняется:

• а) \( x + 1 < \frac{1}{9} \)
• б) \( x < \frac{1}{9} - 1 \rightarrow x < -\frac{8}{9} \)

4. Учёт ОДЗ. Объединим \( x > -1 \) и \( x < -\frac{8}{9} \). Так как \( -1 = -\frac{9}{9} \), имеем \( -\frac{9}{9} < x < -\frac{8}{9} \).

Ответ: \( (-1; -\frac{8}{9}) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма: \( x - 1 > 0 \rightarrow x > 1 \).

2. Приведение к логарифмическому виду. Представим число \( -2 \) в виде логарифма по основанию \( \frac{1}{3} \): \( -2 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-2} = \log_{\frac{1}{3}} 9 \). Неравенство: \( \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) \ge \log_{\frac{1}{3}} 9 \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = \frac{1}{3} \). Так как \( 0 < a < 1 \), функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный: \( \ge \) меняется на \( \le \):

• а) \( x - 1 \le 9 \)
• б) \( x \le 9 + 1 \rightarrow x \le 10 \)

4. Учёт ОДЗ. Объединим \( x > 1 \) и \( x \le 10 \): \( 1 < x \le 10 \).

Ответ: \( (1; 10] \).