Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 31 / Задание 524

ГДЗ: Упражнение 524 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 156, 159, 160, 161
Глава: Глава 5
Параграф: § 31 - Формулы приведения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

524 упражнение:

Найти значение острого угла \( \alpha \), если:

1) \( \cos 75^{\circ} = \sin (90^{\circ} - \alpha) \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \cos 75^{\circ} = \sin (90^{\circ} - \alpha) \).

Шаг 1. Применение формулы приведения к правой части.
  • Правая часть: \( \sin (90^{\circ} - \alpha) \).
  • Угол \( 90^{\circ} - \alpha \) находится в первой четверти (т.к. \( \alpha \) – острый). Синус в первой четверти положителен.
  • Угол содержит \( 90^{\circ} \) (\( \frac{\pi}{2} \)), поэтому функция меняется на кофункцию (синус на косинус).
  • Формула приведения: \( \sin (90^{\circ} - \alpha) = +\cos \alpha \).
Шаг 2. Составление и решение уравнения.
  • Подставляем результат в исходное уравнение: \( \cos 75^{\circ} = \cos \alpha \).
  • Так как косинусы равны и \( \alpha \) является острым углом, то \( \alpha \) должно быть равно \( 75^{\circ} \).
Ответ:

\( \alpha = 75^{\circ} \)

2) \( \sin 150^{\circ} = \sin (90^{\circ} + \alpha) \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \sin 150^{\circ} = \sin (90^{\circ} + \alpha) \).

Шаг 1. Применение формулы приведения к правой части.
  • Правая часть: \( \sin (90^{\circ} + \alpha) \).
  • Угол \( 90^{\circ} + \alpha \) находится во второй четверти (т.к. \( \alpha \) – острый). Синус во второй четверти положителен.
  • Угол содержит \( 90^{\circ} \) (\( \frac{\pi}{2} \)), поэтому функция меняется на кофункцию (синус на косинус).
  • Формула приведения: \( \sin (90^{\circ} + \alpha) = +\cos \alpha \).
Шаг 2. Вычисление левой части с помощью формулы приведения.
  • Левая часть: \( \sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 30^{\circ}) \).
  • Угол \( 180^{\circ} - 30^{\circ} \) находится во второй четверти. Синус положителен.
  • Угол содержит \( 180^{\circ} \) (\( \pi \)), поэтому функция не меняется.
  • \( \sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} \).
Шаг 3. Составление и решение уравнения.
  • Приравниваем результаты: \( \sin 30^{\circ} = \cos \alpha \).
  • Применяем формулу приведения к \( \sin 30^{\circ} \): \( \sin 30^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 60^{\circ} \).
  • Уравнение принимает вид: \( \cos 60^{\circ} = \cos \alpha \).
  • Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = 60^{\circ} \).
Ответ:

\( \alpha = 60^{\circ} \)

3) \( \sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - \alpha) \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - \alpha) \).

Шаг 1. Применение формулы приведения к правой части.
  • Правая часть: \( \sin (180^{\circ} - \alpha) \).
  • Угол \( 180^{\circ} - \alpha \) находится во второй четверти. Синус положителен.
  • Угол содержит \( 180^{\circ} \) (\( \pi \)), функция не меняется.
  • Формула приведения: \( \sin (180^{\circ} - \alpha) = +\sin \alpha \).
Шаг 2. Вычисление левой части и решение уравнения.
  • Левая часть: \( \sin 150^{\circ} \).
  • Уравнение принимает вид: \( \sin 150^{\circ} = \sin \alpha \).
  • Разложим \( 150^{\circ} \): \( \sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} \).
  • Уравнение: \( \sin 30^{\circ} = \sin \alpha \).
  • Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = 30^{\circ} \).
Ответ:

\( \alpha = 30^{\circ} \)

4) \( \cos 310^{\circ} = \cos (270^{\circ} + \alpha) \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \cos 310^{\circ} = \cos (270^{\circ} + \alpha) \).

Шаг 1. Применение формулы приведения к правой части.
  • Правая часть: \( \cos (270^{\circ} + \alpha) \).
  • Угол \( 270^{\circ} + \alpha \) находится в четвертой четверти. Косинус в четвертой четверти положителен.
  • Угол содержит \( 270^{\circ} \) (\( \frac{3\pi}{2} \)), функция меняется на синус.
  • Формула приведения: \( \cos (270^{\circ} + \alpha) = +\sin \alpha \).
Шаг 2. Вычисление левой части с помощью формулы приведения.
  • Левая часть: \( \cos 310^{\circ} \).
  • Разложим \( 310^{\circ} \): \( \cos 310^{\circ} = \cos (360^{\circ} - 50^{\circ}) \).
  • Угол \( 360^{\circ} - 50^{\circ} \) находится в четвертой четверти. Косинус положителен.
  • Угол содержит \( 360^{\circ} \) (\( 2\pi \)), функция не меняется.
  • \( \cos 310^{\circ} = \cos 50^{\circ} \).
Шаг 3. Составление и решение уравнения.
  • Приравниваем результаты: \( \cos 50^{\circ} = \sin \alpha \).
  • Применяем формулу приведения к \( \cos 50^{\circ} \): \( \cos 50^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 50^{\circ}) = \sin 40^{\circ} \).
  • Уравнение принимает вид: \( \sin 40^{\circ} = \sin \alpha \).
  • Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = 40^{\circ} \).
Ответ:

\( \alpha = 40^{\circ} \)

5) \( \sin \frac{5\pi}{4} = \sin (\pi + \alpha) \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \sin \frac{5\pi}{4} = \sin (\pi + \alpha) \).

Шаг 1. Применение формулы приведения к правой части.
  • Правая часть: \( \sin (\pi + \alpha) \).
  • Угол \( \pi + \alpha \) находится в третьей четверти. Синус в третьей четверти отрицателен.
  • Угол содержит \( \pi \), функция не меняется.
  • Формула приведения: \( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \).
Шаг 2. Вычисление левой части с помощью формулы приведения.
  • Левая часть: \( \sin \frac{5\pi}{4} \).
  • Разложим: \( \sin \frac{5\pi}{4} = \sin (\pi + \frac{\pi}{4}) \).
  • Угол \( \pi + \frac{\pi}{4} \) находится в третьей четверти. Синус отрицателен.
  • Угол содержит \( \pi \), функция не меняется.
  • \( \sin \frac{5\pi}{4} = -\sin \frac{\pi}{4} \).
Шаг 3. Составление и решение уравнения.
  • Приравниваем результаты: \( -\sin \frac{\pi}{4} = -\sin \alpha \).
  • Умножаем на -1: \( \sin \frac{\pi}{4} = \sin \alpha \).
  • Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = \frac{\pi}{4} \).
Ответ:

\( \alpha = \frac{\pi}{4} \)

6) \( \tg \frac{2\pi}{3} = \tg (\pi - \alpha) \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \tg \frac{2\pi}{3} = \tg (\pi - \alpha) \).

Шаг 1. Применение формулы приведения к правой части.
  • Правая часть: \( \tg (\pi - \alpha) \).
  • Угол \( \pi - \alpha \) находится во второй четверти. Тангенс во второй четверти отрицателен.
  • Угол содержит \( \pi \), функция не меняется.
  • Формула приведения: \( \tg (\pi - \alpha) = -\tg \alpha \).
Шаг 2. Вычисление левой части с помощью формулы приведения.
  • Левая часть: \( \tg \frac{2\pi}{3} \).
  • Разложим: \( \tg \frac{2\pi}{3} = \tg (\pi - \frac{\pi}{3}) \).
  • Угол \( \pi - \frac{\pi}{3} \) находится во второй четверти. Тангенс отрицателен.
  • Угол содержит \( \pi \), функция не меняется.
  • \( \tg \frac{2\pi}{3} = -\tg \frac{\pi}{3} \).
Шаг 3. Составление и решение уравнения.
  • Приравниваем результаты: \( -\tg \frac{\pi}{3} = -\tg \alpha \).
  • Умножаем на -1: \( \tg \frac{\pi}{3} = \tg \alpha \).
  • Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = \frac{\pi}{3} \).
Ответ:

\( \alpha = \frac{\pi}{3} \)

7) \( \cos \frac{7\pi}{4} = \cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \cos \frac{7\pi}{4} = \cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \).

Шаг 1. Применение формулы приведения к правой части.
  • Правая часть: \( \cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \).
  • Угол \( \frac{3\pi}{2} + \alpha \) находится в четвертой четверти. Косинус в четвертой четверти положителен.
  • Угол содержит \( \frac{3\pi}{2} \), функция меняется на синус.
  • Формула приведения: \( \cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) = +\sin \alpha \).
Шаг 2. Вычисление левой части с помощью формулы приведения.
  • Левая часть: \( \cos \frac{7\pi}{4} \).
  • Разложим: \( \cos \frac{7\pi}{4} = \cos (2\pi - \frac{\pi}{4}) \).
  • Угол \( 2\pi - \frac{\pi}{4} \) находится в четвертой четверти. Косинус положителен.
  • Угол содержит \( 2\pi \), функция не меняется.
  • \( \cos \frac{7\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} \).
Шаг 3. Составление и решение уравнения.
  • Приравниваем результаты: \( \cos \frac{\pi}{4} = \sin \alpha \).
  • Применяем формулу приведения к \( \cos \frac{\pi}{4} \): \( \cos \frac{\pi}{4} = \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} \).
  • Уравнение: \( \sin \frac{\pi}{4} = \sin \alpha \).
  • Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = \frac{\pi}{4} \).
Ответ:

\( \alpha = \frac{\pi}{4} \)

8) \( \ctg \frac{11\pi}{6} = \ctg (2\pi - \alpha) \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \ctg \frac{11\pi}{6} = \ctg (2\pi - \alpha) \).

Шаг 1. Применение формулы приведения к правой части.
  • Правая часть: \( \ctg (2\pi - \alpha) \).
  • Угол \( 2\pi - \alpha \) находится в четвертой четверти. Котангенс в четвертой четверти отрицателен.
  • Угол содержит \( 2\pi \), функция не меняется.
  • Формула приведения: \( \ctg (2\pi - \alpha) = -\ctg \alpha \).
Шаг 2. Вычисление левой части с помощью формулы приведения.
  • Левая часть: \( \ctg \frac{11\pi}{6} \).
  • Разложим: \( \ctg \frac{11\pi}{6} = \ctg (2\pi - \frac{\pi}{6}) \).
  • Угол \( 2\pi - \frac{\pi}{6} \) находится в четвертой четверти. Котангенс отрицателен.
  • Угол содержит \( 2\pi \), функция не меняется.
  • \( \ctg \frac{11\pi}{6} = -\ctg \frac{\pi}{6} \).
Шаг 3. Составление и решение уравнения.
  • Приравниваем результаты: \( -\ctg \frac{\pi}{6} = -\ctg \alpha \).
  • Умножаем на -1: \( \ctg \frac{\pi}{6} = \ctg \alpha \).
  • Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = \frac{\pi}{6} \).
Ответ:

\( \alpha = \frac{\pi}{6} \)

Что применять при решении

Правило знака
Знак правой части формулы приведения соответствует знаку функции, стоящей в левой части, в той четверти, где находится аргумент левой части, при условии, что \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).
Например: \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \) (вторая четверть, синус положительный).
Правило изменения функции
Если угол в формуле приведения имеет вид \( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \) или \( \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \), функция меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс). Если угол имеет вид \( \pi \pm \alpha \) или \( 2\pi \pm \alpha \), функция не меняется.
Например: \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \) (косинус меняется на синус). \( \tan (\pi + \alpha) = \tan \alpha \) (тангенс не меняется).
Периодичность и четность/нечетность
Тригонометрические функции периодичны: \( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \), \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \). Функции синус, тангенс, котангенс — нечетные (\( f(-\alpha) = -f(\alpha) \)), косинус — четная (\( f(-\alpha) = f(\alpha) \)).
\( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \); \( \sin (\alpha - 2\pi) = \sin \alpha \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 31

524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.