ГДЗ: Упражнение 529 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Цель: Вычислить \( \cos 750^{\circ} \) с помощью формулы приведения и периодичности.

• Период косинуса \( 360^{\circ} \) (\( 2\pi \)).
• Разделим \( 750^{\circ} \) на \( 360^{\circ} \): \( 750^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + 30^{\circ} \).
• \( \cos 750^{\circ} = \cos (2 \cdot 360^{\circ} + 30^{\circ}) \).
• Отбрасываем целое число периодов: \( \cos 750^{\circ} = \cos 30^{\circ} \).

• Используем табличное значение \( \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Цель: Вычислить \( \sin 1140^{\circ} \) с помощью формулы приведения и периодичности.

• Период синуса \( 360^{\circ} \).
• Разделим \( 1140^{\circ} \) на \( 360^{\circ} \): \( 1140^{\circ} = 3 \cdot 360^{\circ} + 60^{\circ} \). (Т.к. \( 3 \cdot 360^{\circ} = 1080^{\circ} \) и \( 1140^{\circ} - 1080^{\circ} = 60^{\circ} \)).
• \( \sin 1140^{\circ} = \sin (3 \cdot 360^{\circ} + 60^{\circ}) \).
• Отбрасываем целое число периодов: \( \sin 1140^{\circ} = \sin 60^{\circ} \).

• Используем табличное значение \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Цель: Вычислить \( \tg 405^{\circ} \) с помощью формулы приведения и периодичности.

• Период тангенса \( 180^{\circ} \) (\( \pi \)).
• Разделим \( 405^{\circ} \) на \( 180^{\circ} \): \( 405^{\circ} = 2 \cdot 180^{\circ} + 45^{\circ} \).
• \( \tg 405^{\circ} = \tg (2 \cdot 180^{\circ} + 45^{\circ}) \).
• Отбрасываем целое число периодов: \( \tg 405^{\circ} = \tg 45^{\circ} \).

• Используем табличное значение \( \tg 45^{\circ} = 1 \).

Ответ: \( 1 \)

Цель: Вычислить \( \cos 840^{\circ} \) с помощью формулы приведения и периодичности.

• Период косинуса \( 360^{\circ} \).
• Разделим \( 840^{\circ} \) на \( 360^{\circ} \): \( 840^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + 120^{\circ} \).
• \( \cos 840^{\circ} = \cos (2 \cdot 360^{\circ} + 120^{\circ}) \).
• Отбрасываем целое число периодов: \( \cos 840^{\circ} = \cos 120^{\circ} \).

• Представим \( 120^{\circ} \) как \( 180^{\circ} - 60^{\circ} \): \( \cos 120^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 60^{\circ}) \).
• Угол \( 120^{\circ} \) во второй четверти. Косинус отрицателен. Функция не меняется.
• \( \cos (180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} \).

• Используем табличное значение \( \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \).
• \( \cos 840^{\circ} = -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( -\frac{1}{2} \)

Цель: Вычислить \( \sin \frac{47\pi}{6} \) с помощью формулы приведения и периодичности.

• Период синуса \( 2\pi \). Разделим \( \frac{47}{6} \) на \( 2 \): \( \frac{47}{6} = 7 + \frac{5}{6} \). 7 нечетное. Ближайшее четное целое \( 6 \).
• Представим \( \frac{47\pi}{6} \) как \( 8\pi - \frac{\pi}{6} \) (т.к. \( 8 = \frac{48}{6} \)):
• \( \sin \frac{47\pi}{6} = \sin (8\pi - \frac{\pi}{6}) \).
• Отбрасываем целое число периодов (\( 8\pi = 4 \cdot 2\pi \)): \( \sin (8\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin (-\frac{\pi}{6}) \).

• Синус – нечетная функция: \( \sin (-\frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} \).

• Используем табличное значение \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
• \( \sin \frac{47\pi}{6} = -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( -\frac{1}{2} \)

Цель: Вычислить \( \tg \frac{25\pi}{4} \) с помощью формулы приведения и периодичности.

• Период тангенса \( \pi \). Разделим \( \frac{25}{4} \) на \( 1 \): \( \frac{25}{4} = 6 + \frac{1}{4} \).
• Представим \( \frac{25\pi}{4} \) как \( 6\pi + \frac{\pi}{4} \):
• \( \tg \frac{25\pi}{4} = \tg (6\pi + \frac{\pi}{4}) \).
• Отбрасываем целое число периодов (\( 6\pi = 6 \cdot \pi \)): \( \tg (6\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg \frac{\pi}{4} \).

• Используем табличное значение \( \tg \frac{\pi}{4} = 1 \).

Ответ: \( 1 \)

Цель: Вычислить \( \ctg \frac{27\pi}{4} \) с помощью формулы приведения и периодичности.

• Период котангенса \( \pi \). Разделим \( \frac{27}{4} \) на \( 1 \): \( \frac{27}{4} = 6 + \frac{3}{4} \).
• Представим \( \frac{27\pi}{4} \) как \( 6\pi + \frac{3\pi}{4} \):
• \( \ctg \frac{27\pi}{4} = \ctg (6\pi + \frac{3\pi}{4}) \).
• Отбрасываем целое число периодов (\( 6\pi = 6 \cdot \pi \)): \( \ctg (6\pi + \frac{3\pi}{4}) = \ctg \frac{3\pi}{4} \).

• Разложим \( \frac{3\pi}{4} \) как \( \pi - \frac{\pi}{4} \): \( \ctg \frac{3\pi}{4} = \ctg (\pi - \frac{\pi}{4}) \).
• Угол \( \pi - \frac{\pi}{4} \) во второй четверти. Котангенс отрицателен. Функция не меняется.
• \( \ctg (\pi - \frac{\pi}{4}) = -\ctg \frac{\pi}{4} \).

• Используем табличное значение \( \ctg \frac{\pi}{4} = 1 \).
• \( \ctg \frac{27\pi}{4} = -1 \).

Ответ: \( -1 \)

Цель: Вычислить \( \cos \frac{21\pi}{4} \) с помощью формулы приведения и периодичности.

• Период косинуса \( 2\pi \). Разделим \( \frac{21}{4} \) на \( 2 \): \( \frac{21}{4} = 5 + \frac{1}{4} \). Ближайшее четное целое \( 4 \).
• Представим \( \frac{21\pi}{4} \) как \( 4\pi + \frac{5\pi}{4} \):
• \( \cos \frac{21\pi}{4} = \cos (4\pi + \frac{5\pi}{4}) \).
• Отбрасываем целое число периодов (\( 4\pi = 2 \cdot 2\pi \)): \( \cos (4\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos \frac{5\pi}{4} \).

• Разложим \( \frac{5\pi}{4} \) как \( \pi + \frac{\pi}{4} \): \( \cos \frac{5\pi}{4} = \cos (\pi + \frac{\pi}{4}) \).
• Угол \( \pi + \frac{\pi}{4} \) в третьей четверти. Косинус отрицателен. Функция не меняется.
• \( \cos (\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} \).

• Используем табличное значение \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• \( \cos \frac{21\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)