Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 31 / Задание 531

ГДЗ: Упражнение 531 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 156, 159, 160, 161
Глава: Глава 5
Параграф: § 31 - Формулы приведения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

531 упражнение:

Вычислить:

1) \( \frac{\cos \frac{23\pi}{4} - \sin \frac{15\pi}{4}}{\ctg \frac{15\pi}{4} - \ctg \frac{11\pi}{2}} \)

Цель: Вычислить значение выражения.

Шаг 1. Применяем периодичность и формулы приведения.
  • \( \cos \frac{23\pi}{4} \): Период \( 2\pi \). \( \frac{23\pi}{4} = 5\pi + \frac{3\pi}{4} = 4\pi + \pi + \frac{3\pi}{4} \). Отбрасываем \( 4\pi \): \( \cos \frac{23\pi}{4} = \cos (\pi + \frac{3\pi}{4}) \).
    Четверть III. Знак: -. Функция не меняется.
    \[ \cos (\pi + \frac{3\pi}{4}) = -\cos \frac{3\pi}{4} = -\cos (\pi - \frac{\pi}{4}) = -(-\cos \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
  • \( \sin \frac{15\pi}{4} \): Период \( 2\pi \). \( \frac{15\pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4} \). Отбрасываем \( 4\pi \): \( \sin \frac{15\pi}{4} = \sin (-\frac{\pi}{4}) \).
    Нечетность: \( \sin (-\frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
  • \( \ctg \frac{15\pi}{4} \): Период \( \pi \). \( \frac{15\pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4} \). Отбрасываем \( 4\pi \): \( \ctg \frac{15\pi}{4} = \ctg (-\frac{\pi}{4}) \).
    Нечетность: \( \ctg (-\frac{\pi}{4}) = -\ctg \frac{\pi}{4} = -1 \).
  • \( \ctg \frac{11\pi}{2} \): \( \frac{11\pi}{2} = 5\pi + \frac{\pi}{2} = 4\pi + \pi + \frac{\pi}{2} \). Отбрасываем \( 4\pi \): \( \ctg \frac{11\pi}{2} = \ctg (\pi + \frac{\pi}{2}) \).
    Периодичность \( \pi \): \( \ctg (\pi + \frac{\pi}{2}) = \ctg \frac{\pi}{2} \).
    Табличное значение: \( \ctg \frac{\pi}{2} = 0 \).
Шаг 2. Подставляем значения в выражение.

\[ \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{-1 - 0} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{-1} = \frac{\sqrt{2}}{-1} = -\sqrt{2} \]

Ответ: \( -\sqrt{2} \)

2) \( 2\sin \frac{25\pi}{6} - \cos (-\frac{17\pi}{3}) - \tg (-\frac{10\pi}{3}) \)

Цель: Вычислить значение выражения.

Шаг 1. Вычисляем \( 2\sin \frac{25\pi}{6} \).
  • Период \( 2\pi \). \( \frac{25\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6} \).
  • \( 2\sin \frac{25\pi}{6} = 2\sin (4\pi + \frac{\pi}{6}) = 2\sin \frac{\pi}{6} \).
  • Табличное значение: \( 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \).
Шаг 2. Вычисляем \( -\cos (-\frac{17\pi}{3}) \).
  • Четность косинуса: \( -\cos (-\frac{17\pi}{3}) = -\cos \frac{17\pi}{3} \).
  • Период \( 2\pi \). \( \frac{17\pi}{3} = 6\pi - \frac{\pi}{3} \).
  • \( -\cos \frac{17\pi}{3} = -\cos (6\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos (-\frac{\pi}{3}) \).
  • Снова четность косинуса: \( -\cos \frac{\pi}{3} \).
  • Табличное значение: \( -\frac{1}{2} \).
Шаг 3. Вычисляем \( -\tg (-\frac{10\pi}{3}) \).
  • Нечетность тангенса: \( -\tg (-\frac{10\pi}{3}) = -(-\tg \frac{10\pi}{3}) = \tg \frac{10\pi}{3} \).
  • Период \( \pi \). \( \frac{10\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3} \).
  • \( \tg \frac{10\pi}{3} = \tg (3\pi + \frac{\pi}{3}) \).
  • Периодичность \( \pi \): \( \tg (3\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg \frac{\pi}{3} \).
  • Табличное значение: \( \sqrt{3} \).
Шаг 4. Находим значение выражения.

Подставляем найденные значения:

\[ 1 - \frac{1}{2} + \sqrt{3} = \frac{1}{2} + \sqrt{3} \]

Ответ: \( \frac{1}{2} + \sqrt{3} \)

3) \( \sin (-7\pi) - 2\cos \frac{31\pi}{3} - \tg \frac{7\pi}{4} \)

Цель: Вычислить значение выражения.

Шаг 1. Вычисляем \( \sin (-7\pi) \).
  • Нечетность синуса: \( \sin (-7\pi) = -\sin 7\pi \).
  • Период \( 2\pi \). \( 7\pi = 6\pi + \pi \).
  • \( -\sin 7\pi = -\sin (6\pi + \pi) = -\sin \pi \).
  • Табличное значение: \( -0 = 0 \).
Шаг 2. Вычисляем \( -2\cos \frac{31\pi}{3} \).
  • Период \( 2\pi \). \( \frac{31\pi}{3} = 10\pi + \frac{\pi}{3} \).
  • \( -2\cos \frac{31\pi}{3} = -2\cos (10\pi + \frac{\pi}{3}) = -2\cos \frac{\pi}{3} \).
  • Табличное значение: \( -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 \).
Шаг 3. Вычисляем \( -\tg \frac{7\pi}{4} \).
  • Период \( \pi \). \( \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4} \).
  • \( -\tg \frac{7\pi}{4} = -\tg (2\pi - \frac{\pi}{4}) \).
  • Формула приведения (\( 2\pi - \alpha \) в IV четверти, \( \tg \) отрицателен): \( -\tg (-\frac{\pi}{4}) \).
  • Нечетность: \( -(-\tg \frac{\pi}{4}) = \tg \frac{\pi}{4} \).
  • Табличное значение: \( 1 \).
Шаг 4. Находим значение выражения.

Подставляем найденные значения:

\[ 0 + (-1) + 1 = 0 \]

Ответ: \( 0 \)

4) \( \cos (-9\pi) + 2\sin (-\frac{49\pi}{6}) - \ctg (-\frac{21\pi}{4}) \)

Цель: Вычислить значение выражения.

Шаг 1. Вычисляем \( \cos (-9\pi) \).
  • Четность косинуса: \( \cos (-9\pi) = \cos 9\pi \).
  • Период \( 2\pi \). \( 9\pi = 8\pi + \pi \).
  • \( \cos 9\pi = \cos (8\pi + \pi) = \cos \pi \).
  • Табличное значение: \( -1 \).
Шаг 2. Вычисляем \( 2\sin (-\frac{49\pi}{6}) \).
  • Нечетность синуса: \( 2\sin (-\frac{49\pi}{6}) = -2\sin \frac{49\pi}{6} \).
  • Период \( 2\pi \). \( \frac{49\pi}{6} = 8\pi + \frac{\pi}{6} \).
  • \( -2\sin \frac{49\pi}{6} = -2\sin (8\pi + \frac{\pi}{6}) = -2\sin \frac{\pi}{6} \).
  • Табличное значение: \( -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 \).
Шаг 3. Вычисляем \( -\ctg (-\frac{21\pi}{4}) \).
  • Нечетность котангенса: \( -\ctg (-\frac{21\pi}{4}) = -(-\ctg \frac{21\pi}{4}) = \ctg \frac{21\pi}{4} \).
  • Период \( \pi \). \( \frac{21\pi}{4} = 5\pi + \frac{\pi}{4} \).
  • \( \ctg \frac{21\pi}{4} = \ctg (5\pi + \frac{\pi}{4}) \).
  • Периодичность \( \pi \): \( \ctg (5\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg \frac{\pi}{4} \).
  • Табличное значение: \( 1 \).
Шаг 4. Находим значение выражения.

Подставляем найденные значения:

\[ -1 + (-1) - 1 = -3 \]

Ответ: \( -3 \)

Что применять при решении

Правило знака
Знак правой части формулы приведения соответствует знаку функции, стоящей в левой части, в той четверти, где находится аргумент левой части, при условии, что \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).
Например: \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \) (вторая четверть, синус положительный).
Правило изменения функции
Если угол в формуле приведения имеет вид \( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \) или \( \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \), функция меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс). Если угол имеет вид \( \pi \pm \alpha \) или \( 2\pi \pm \alpha \), функция не меняется.
Например: \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \) (косинус меняется на синус). \( \tan (\pi + \alpha) = \tan \alpha \) (тангенс не меняется).
Периодичность и четность/нечетность
Тригонометрические функции периодичны: \( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \), \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \). Функции синус, тангенс, котангенс — нечетные (\( f(-\alpha) = -f(\alpha) \)), косинус — четная (\( f(-\alpha) = f(\alpha) \)).
\( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \); \( \sin (\alpha - 2\pi) = \sin \alpha \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 31

524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.