ГДЗ: Упражнение 536 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Цель: Доказать, что вычисление тригонометрических функций любого угла \( \alpha \) можно свести к вычислению для угла \( \beta \), где \( 0 \le \beta \le \frac{\pi}{4} \) (\( 0^{\circ} \le \beta \le 45^{\circ} \)).

• Используя периодичность функций (\( 2\pi \) для синуса/косинуса, \( \pi \) для тангенса/котангенса) и свойства четности/нечетности (\( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \), \( \sin (-\alpha) = -\sin \alpha \) и т.д.), любой угол \( \alpha \) может быть сведен к углу \( \alpha' \), где \( 0 \le \alpha' < 2\pi \).
• Используя формулы приведения для углов \( \pi \pm \alpha' \), \( 2\pi - \alpha' \) и т.д. (правило знака, функция не меняется), угол \( \alpha' \) можно свести к углу \( \alpha'' \), где \( 0 \le \alpha'' \le \frac{\pi}{2} \) (\( 0^{\circ} \le \alpha'' \le 90^{\circ} \)).

• Пусть \( \alpha'' \) — угол в промежутке \( [0, \frac{\pi}{2}] \). Рассмотрим два случая:
• Случай 1: Если \( 0 \le \alpha'' \le \frac{\pi}{4} \).
  Тогда угол \( \alpha'' \) уже находится в требуемом промежутке, и вычисление производится для него.
• Случай 2: Если \( \frac{\pi}{4} < \alpha'' \le \frac{\pi}{2} \).
  Введем новый угол \( \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha'' \).
  Поскольку \( \frac{\pi}{4} < \alpha'' \le \frac{\pi}{2} \), то:
  \[ 0 \le \frac{\pi}{2} - \alpha'' < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \Rightarrow 0 \le \beta < \frac{\pi}{4} \]
• Теперь используем формулы приведения для \( \alpha'' = \frac{\pi}{2} - \beta \):
  • Для синуса: \( \sin \alpha'' = \sin (\frac{\pi}{2} - \beta) = \cos \beta \).
  • Для косинуса: \( \cos \alpha'' = \cos (\frac{\pi}{2} - \beta) = \sin \beta \).
  • Для тангенса: \( \tg \alpha'' = \tg (\frac{\pi}{2} - \beta) = \ctg \beta \).

Таким образом, если исходный угол \( \alpha \) приводится к углу \( \alpha'' \) из промежутка \( (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}] \), его тригонометрические функции могут быть выражены через кофункции угла \( \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha'' \), который лежит в промежутке \( [0, \frac{\pi}{4}) \). Следовательно, вычисление значения любой тригонометрической функции любого угла можно свести к вычислению значения функции (или кофункции) угла, лежащего в промежутке \( [0, \frac{\pi}{4}] \).