Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 31 / Задание 534

ГДЗ: Упражнение 534 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 156, 159, 160, 161
Глава: Глава 5
Параграф: § 31 - Формулы приведения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

534 упражнение:

Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треугольника равен синусу его третьего угла.

1)

Цель: Доказать, что в треугольнике с углами \( A, B, C \) выполняется равенство \( \sin (A + B) = \sin C \).

Шаг 1. Использование свойства суммы углов треугольника.
  • Сумма внутренних углов любого треугольника равна \( 180^{\circ} \) или \( \pi \) радиан:
    \[ A + B + C = \pi \]
Шаг 2. Выражение третьего угла через сумму двух других.
  • Из равенства в Шаге 1 выразим третий угол \( C \):
    \[ C = \pi - (A + B) \]
Шаг 3. Применение синуса к обеим частям.
  • Найдём синус третьего угла:
    \[ \sin C = \sin (\pi - (A + B)) \]
Шаг 4. Применение формулы приведения.
  • Используем формулу приведения для синуса: \( \sin (\pi - \beta) = \sin \beta \).
  • Пусть \( \beta = A + B \).
  • \[ \sin (\pi - (A + B)) = \sin (A + B) \]
Шаг 5. Вывод.

Сравнивая Шаг 3 и Шаг 4, получаем:

\[ \sin C = \sin (A + B) \]

Таким образом, синус суммы двух внутренних углов треугольника \( \sin (A + B) \) равен синусу его третьего угла \( \sin C \). Тождество доказано.

Что применять при решении

Правило знака
Знак правой части формулы приведения соответствует знаку функции, стоящей в левой части, в той четверти, где находится аргумент левой части, при условии, что \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).
Например: \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \) (вторая четверть, синус положительный).
Правило изменения функции
Если угол в формуле приведения имеет вид \( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \) или \( \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \), функция меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс). Если угол имеет вид \( \pi \pm \alpha \) или \( 2\pi \pm \alpha \), функция не меняется.
Например: \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \) (косинус меняется на синус). \( \tan (\pi + \alpha) = \tan \alpha \) (тангенс не меняется).
Периодичность и четность/нечетность
Тригонометрические функции периодичны: \( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \), \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \). Функции синус, тангенс, котангенс — нечетные (\( f(-\alpha) = -f(\alpha) \)), косинус — четная (\( f(-\alpha) = f(\alpha) \)).
\( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \); \( \sin (\alpha - 2\pi) = \sin \alpha \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 31

524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.