Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 31 / Задание 530

ГДЗ: Упражнение 530 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 156, 159, 160, 161
Глава: Глава 5
Параграф: § 31 - Формулы приведения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

530 упражнение:

Найти значение выражения:

1) \( \cos 630^{\circ} - \sin 1470^{\circ} - \ctg 1125^{\circ} \)

Цель: Вычислить \( \cos 630^{\circ} - \sin 1470^{\circ} - \ctg 1125^{\circ} \) с использованием периодичности и формул приведения.

Шаг 1. Вычисляем \( \cos 630^{\circ} \).
  • Период \( 360^{\circ} \): \( 630^{\circ} = 360^{\circ} + 270^{\circ} \).
  • \( \cos 630^{\circ} = \cos 270^{\circ} \).
  • Табличное значение: \( \cos 270^{\circ} = 0 \).
Шаг 2. Вычисляем \( \sin 1470^{\circ} \).
  • Период \( 360^{\circ} \): \( 1470^{\circ} = 4 \cdot 360^{\circ} + 30^{\circ} \) (т.к. \( 4 \cdot 360^{\circ} = 1440^{\circ} \)).
  • \( \sin 1470^{\circ} = \sin 30^{\circ} \).
  • Табличное значение: \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \).
Шаг 3. Вычисляем \( \ctg 1125^{\circ} \).
  • Период \( 180^{\circ} \): \( 1125^{\circ} = 6 \cdot 180^{\circ} + 45^{\circ} \) (т.к. \( 6 \cdot 180^{\circ} = 1080^{\circ} \)).
  • \( \ctg 1125^{\circ} = \ctg 45^{\circ} \).
  • Табличное значение: \( \ctg 45^{\circ} = 1 \).
Шаг 4. Находим значение выражения.

Подставляем найденные значения:

\[ \cos 630^{\circ} - \sin 1470^{\circ} - \ctg 1125^{\circ} = 0 - \frac{1}{2} - 1 = -1\frac{1}{2} \]

Ответ: \( -\frac{3}{2} \) или \( -1.5 \)

2) \( \tg 1800^{\circ} + \sin 495^{\circ} + \cos 945^{\circ} \)

Цель: Вычислить \( \tg 1800^{\circ} + \sin 495^{\circ} + \cos 945^{\circ} \) с использованием периодичности и формул приведения.

Шаг 1. Вычисляем \( \tg 1800^{\circ} \).
  • Период \( 180^{\circ} \): \( 1800^{\circ} = 10 \cdot 180^{\circ} + 0^{\circ} \).
  • \( \tg 1800^{\circ} = \tg 0^{\circ} \).
  • Табличное значение: \( \tg 0^{\circ} = 0 \).
Шаг 2. Вычисляем \( \sin 495^{\circ} \).
  • Период \( 360^{\circ} \): \( 495^{\circ} = 1 \cdot 360^{\circ} + 135^{\circ} \).
  • \( \sin 495^{\circ} = \sin 135^{\circ} \).
  • Применяем формулу приведения: \( \sin 135^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Шаг 3. Вычисляем \( \cos 945^{\circ} \).
  • Период \( 360^{\circ} \): \( 945^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + 225^{\circ} \) (т.к. \( 2 \cdot 360^{\circ} = 720^{\circ} \)).
  • \( \cos 945^{\circ} = \cos 225^{\circ} \).
  • Применяем формулу приведения: \( \cos 225^{\circ} = \cos (180^{\circ} + 45^{\circ}) \).
  • Угол \( 225^{\circ} \) в третьей четверти. Косинус отрицателен. Функция не меняется.
  • \( \cos (180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Шаг 4. Находим значение выражения.

Подставляем найденные значения:

\[ \tg 1800^{\circ} + \sin 495^{\circ} + \cos 945^{\circ} = 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0 \]

Ответ: \( 0 \)

3) \( \cos 3660^{\circ} + \sin 495^{\circ} + \cos (-450^{\circ}) \)

Цель: Вычислить \( \cos 3660^{\circ} + \sin 495^{\circ} + \cos (-450^{\circ}) \) с использованием периодичности и формул приведения.

Шаг 1. Вычисляем \( \cos 3660^{\circ} \).
  • Период \( 360^{\circ} \): \( 3660^{\circ} = 10 \cdot 360^{\circ} + 60^{\circ} \) (т.к. \( 10 \cdot 360^{\circ} = 3600^{\circ} \)).
  • \( \cos 3660^{\circ} = \cos 60^{\circ} \).
  • Табличное значение: \( \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \).
Шаг 2. Вычисляем \( \sin 495^{\circ} \).
  • Из варианта 2 (Шаг 2): \( \sin 495^{\circ} = \sin 135^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Шаг 3. Вычисляем \( \cos (-450^{\circ}) \).
  • Используем четность косинуса: \( \cos (-450^{\circ}) = \cos 450^{\circ} \).
  • Период \( 360^{\circ} \): \( 450^{\circ} = 1 \cdot 360^{\circ} + 90^{\circ} \).
  • \( \cos 450^{\circ} = \cos 90^{\circ} \).
  • Табличное значение: \( \cos 90^{\circ} = 0 \).
Шаг 4. Находим значение выражения.

Подставляем найденные значения:

\[ \cos 3660^{\circ} + \sin 495^{\circ} + \cos (-450^{\circ}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \]

Ответ: \( \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \)

4) \( \cos 4455^{\circ} - \cos (-945^{\circ}) + \tg 1035^{\circ} - \ctg (-1500^{\circ}) \)

Цель: Вычислить \( \cos 4455^{\circ} - \cos (-945^{\circ}) + \tg 1035^{\circ} - \ctg (-1500^{\circ}) \) с использованием периодичности, четности и формул приведения.

Шаг 1. Вычисляем \( \cos 4455^{\circ} \).
  • Период \( 360^{\circ} \): \( 4455^{\circ} = 12 \cdot 360^{\circ} + 135^{\circ} \) (т.к. \( 12 \cdot 360^{\circ} = 4320^{\circ} \)).
  • \( \cos 4455^{\circ} = \cos 135^{\circ} \).
  • Приводим к острому углу: \( \cos 135^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Шаг 2. Вычисляем \( -\cos (-945^{\circ}) \).
  • Четность косинуса: \( -\cos (-945^{\circ}) = -\cos 945^{\circ} \).
  • Период \( 360^{\circ} \): \( 945^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + 225^{\circ} \).
  • \( -\cos 945^{\circ} = -\cos 225^{\circ} \).
  • Приводим к острому углу: \( -\cos 225^{\circ} = -\cos (180^{\circ} + 45^{\circ}) = -(-\cos 45^{\circ}) = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Шаг 3. Вычисляем \( \tg 1035^{\circ} \).
  • Период \( 180^{\circ} \): \( 1035^{\circ} = 5 \cdot 180^{\circ} + 135^{\circ} \) (т.к. \( 5 \cdot 180^{\circ} = 900^{\circ} \)).
  • \( \tg 1035^{\circ} = \tg 135^{\circ} \).
  • Приводим к острому углу: \( \tg 135^{\circ} = \tg (180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\tg 45^{\circ} = -1 \).
Шаг 4. Вычисляем \( -\ctg (-1500^{\circ}) \).
  • Нечетность котангенса: \( -\ctg (-1500^{\circ}) = -(-\ctg 1500^{\circ}) = \ctg 1500^{\circ} \).
  • Период \( 180^{\circ} \): \( 1500^{\circ} = 8 \cdot 180^{\circ} + 60^{\circ} \) (т.к. \( 8 \cdot 180^{\circ} = 1440^{\circ} \)).
  • \( \ctg 1500^{\circ} = \ctg 60^{\circ} \).
  • Табличное значение: \( \ctg 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Шаг 5. Находим значение выражения.

Подставляем найденные значения:

\[ -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + (-1) + \frac{\sqrt{3}}{3} = 0 - 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \]

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \)

Что применять при решении

Правило знака
Знак правой части формулы приведения соответствует знаку функции, стоящей в левой части, в той четверти, где находится аргумент левой части, при условии, что \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).
Например: \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \) (вторая четверть, синус положительный).
Правило изменения функции
Если угол в формуле приведения имеет вид \( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \) или \( \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \), функция меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс). Если угол имеет вид \( \pi \pm \alpha \) или \( 2\pi \pm \alpha \), функция не меняется.
Например: \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \) (косинус меняется на синус). \( \tan (\pi + \alpha) = \tan \alpha \) (тангенс не меняется).
Периодичность и четность/нечетность
Тригонометрические функции периодичны: \( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \), \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \). Функции синус, тангенс, котангенс — нечетные (\( f(-\alpha) = -f(\alpha) \)), косинус — четная (\( f(-\alpha) = f(\alpha) \)).
\( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \); \( \sin (\alpha - 2\pi) = \sin \alpha \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 31

524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.