ГДЗ: Упражнение 532 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Цель: Доказать тождество \( \sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos (\frac{\pi}{4} - \alpha) = 0 \).

• Используем формулу приведения, связывающую косинус и синус: \( \cos \beta = \sin (\frac{\pi}{2} - \beta) \).
• Пусть \( \beta = \frac{\pi}{4} - \alpha \).
• Тогда:
  \[ \cos (\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin (\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)) \]
• Раскрываем скобки и упрощаем аргумент синуса:
  \[ \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin (\frac{2\pi - \pi}{4} + \alpha) = \sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) \]

• Левая часть (ЛЧ) принимает вид:
  \[ \text{ЛЧ} = \sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) - \sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) \]

\[ \text{ЛЧ} = 0 \]

Поскольку левая часть равна правой части (0 = 0), тождество доказано.

Цель: Доказать тождество \( \cos (\frac{\pi}{6} - \alpha) - \sin (\frac{\pi}{3} + \alpha) = 0 \).

• Используем формулу приведения, связывающую косинус и синус: \( \cos \beta = \sin (\frac{\pi}{2} - \beta) \).
• Пусть \( \beta = \frac{\pi}{6} - \alpha \).
• Тогда:
  \[ \cos (\frac{\pi}{6} - \alpha) = \sin (\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - \alpha)) \]
• Раскрываем скобки и упрощаем аргумент синуса:
  \[ \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \alpha) = \sin (\frac{3\pi - \pi}{6} + \alpha) = \sin (\frac{2\pi}{6} + \alpha) = \sin (\frac{\pi}{3} + \alpha) \]

• Левая часть (ЛЧ) принимает вид:
  \[ \text{ЛЧ} = \sin (\frac{\pi}{3} + \alpha) - \sin (\frac{\pi}{3} + \alpha) \]

\[ \text{ЛЧ} = 0 \]

Поскольку левая часть равна правой части (0 = 0), тождество доказано.

Цель: Доказать тождество \( \frac{\sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot \ctg (\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\tg (\pi + \alpha)} = -\sin \alpha \).

• Числитель, первый член: \( \sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha) \).
  • Четверть: III. Знак \( \sin \): -. Функция меняется (\( \sin \to \cos \)).
  • \( \sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha \).
• Числитель, второй член: \( \ctg (\frac{\pi}{2} + \alpha) \).
  • Четверть: II. Знак \( \ctg \): -. Функция меняется (\( \ctg \to \tg \)).
  • \( \ctg (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\tg \alpha \).
• Знаменатель: \( \tg (\pi + \alpha) \).
  • Четверть: III. Знак \( \tg \): +. Функция не меняется.
  • \( \tg (\pi + \alpha) = \tg \alpha \).

\[ \text{ЛЧ} = \frac{(-\cos \alpha) \cdot (-\tg \alpha)}{\tg \alpha} \]

Умножение отрицательных чисел дает положительный результат, а \( \tg \alpha \) сокращается (при условии \( \tg \alpha \ne 0 \)):

\[ \text{ЛЧ} = \frac{\cos \alpha \cdot \tg \alpha}{\tg \alpha} = \cos \alpha \]

Получаем: \( \cos \alpha = -\sin \alpha \). Это равенство не является тождеством.

Перепроверим условие задания, возможно, ошибка в знаке в исходном выражении.
Если бы в знаменателе было \( \tg (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \), то \( \tg (\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\ctg \alpha \). Тогда:
\[ \frac{(-\cos \alpha) \cdot (-\tg \alpha)}{-\ctg \alpha} = \frac{\cos \alpha \cdot \tg \alpha}{-\ctg \alpha} = -\cos \alpha \cdot \tg \alpha \cdot \tg \alpha = -\cos \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = -\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} \]

Перепроверим условие задания, возможно, ошибка в знаке в знаменателе в исходном выражении (см. изображение).

Согласно изображению, знаменатель: \( \tg (\pi + \alpha) \). Упрощение: \( \tg \alpha \).

ЛЧ: \( \frac{(-\cos \alpha) \cdot (-\tg \alpha)}{\tg \alpha} = \cos \alpha \).

Результат должен быть \( -\sin \alpha \). Вероятна опечатка в оригинальном учебнике или требуется другое преобразование.

Рассмотрим, если в числителе \( \sin (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \):
Упрощение: \( -\cos \alpha \).
Тогда ЛЧ: \( \frac{-\cos \alpha \cdot (-\tg \alpha)}{\tg \alpha} = \cos \alpha \).
Тождество: \( \cos \alpha = -\sin \alpha \) (Неверно).

Рассмотрим, если в числителе \( \sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha) \) и \( \ctg (\pi - \alpha) \):
Если \( \ctg (\pi - \alpha) = -\ctg \alpha \).
ЛЧ: \( \frac{(-\cos \alpha) \cdot (-\ctg \alpha)}{\tg \alpha} = \frac{\cos \alpha \cdot \ctg \alpha}{\tg \alpha} = \cos \alpha \cdot \ctg^2 \alpha \) (Неверно).

Предположим, что \( \sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha) \) и \( \ctg (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \).
Упрощение: \( \sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha \).
Упрощение: \( \ctg (\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \tg \alpha \).
ЛЧ: \( \frac{(-\cos \alpha) \cdot \tg \alpha}{\tg \alpha} = -\cos \alpha \) (Неверно).

Используем первое упрощение, которое точно соответствует заданию (слева):
\[ \text{ЛЧ} = \frac{(-\cos \alpha) \cdot (-\tg \alpha)}{\tg \alpha} = \cos \alpha \]
Тогда тождество: \( \cos \alpha = -\sin \alpha \). Это не тождество.

Должно быть, ошибка в знаке в правой части. Доказываем, что ЛЧ \( = \cos \alpha \).

ЛЧ: \( \frac{\sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot \ctg (\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\tg (\pi + \alpha)} \)

Упрощение числителя: \( \sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot \ctg (\frac{\pi}{2} + \alpha) = (-\cos \alpha) \cdot (-\tg \alpha) = \cos \alpha \cdot \tg \alpha \).

Упрощение знаменателя: \( \tg (\pi + \alpha) = \tg \alpha \).

ЛЧ: \( \frac{\cos \alpha \cdot \tg \alpha}{\tg \alpha} = \cos \alpha \).

Тождество, вероятно, должно было быть: \( \frac{\sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot \ctg (\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\tg (\pi + \alpha)} = \cos \alpha \).

Ввиду жесткого требования к ответу, оставляем доказательство того, что ЛЧ упрощается до \( \cos \alpha \), и предполагаем, что в задании опечатка в правой части.

Ответ (согласно упрощению ЛЧ): \( \cos \alpha \)