ГДЗ: Упражнение 533 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Цель: Доказать тождество \( \sin (\frac{7\pi}{6} + \alpha) = -\sin (\frac{\pi}{6} + \alpha) \).

• Представим аргумент \( \frac{7\pi}{6} + \alpha \) как \( \pi + (\frac{\pi}{6} + \alpha) \).
• \[ \text{ЛЧ} = \sin (\pi + (\frac{\pi}{6} + \alpha)) \]

• Пусть \( \beta = \frac{\pi}{6} + \alpha \).
• Угол \( \pi + \beta \) находится в III четверти (если \( \beta \) — острый), синус там отрицателен. Функция не меняется.
• \[ \sin (\pi + (\frac{\pi}{6} + \alpha)) = -\sin (\frac{\pi}{6} + \alpha) \]

\[ \text{ПЧ} = -\sin (\frac{\pi}{6} + \alpha) \]

Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.

Цель: Доказать тождество \( \sin (\frac{5\pi}{4} + \alpha) = -\sin (\frac{3\pi}{4} - \alpha) \).

• Представим аргумент \( \frac{5\pi}{4} + \alpha \) как \( \pi + (\frac{\pi}{4} + \alpha) \).
• \[ \text{ЛЧ} = \sin (\pi + (\frac{\pi}{4} + \alpha)) \]
• Применяем формулу приведения \( \sin (\pi + \beta) = -\sin \beta \).
• \[ \text{ЛЧ} = -\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) \]

• Представим аргумент \( \frac{3\pi}{4} - \alpha \) как \( \frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{4} - \alpha) \).
• \[ \text{ПЧ} = -\sin (\frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{4} - \alpha)) \]
• Применяем формулу приведения \( \sin (\frac{\pi}{2} + \beta) = \cos \beta \).
• \[ \text{ПЧ} = -\cos (\frac{\pi}{4} - \alpha) \]

• Используем формулу приведения \( \cos (\frac{\pi}{2} - \gamma) = \sin \gamma \).
• Представим аргумент \( \frac{\pi}{4} - \alpha \) как \( \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha) \).
• \[ \text{ПЧ} = -\cos (\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)) \]
• Применяем формулу приведения \( \cos (\frac{\pi}{2} - \gamma) = \sin \gamma \):
  \[ \text{ПЧ} = -\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) \]

Так как ЛЧ (\( -\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) \)) = ПЧ (\( -\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) \)), тождество доказано.

Цель: Доказать тождество \( \cos (\alpha - \frac{2\pi}{3}) = -\cos (\frac{\pi}{3} + \alpha) \).

• Косинус – четная функция: \( \cos (-\beta) = \cos \beta \).
• \[ \text{ЛЧ} = \cos (\alpha - \frac{2\pi}{3}) = \cos (-(\frac{2\pi}{3} - \alpha)) = \cos (\frac{2\pi}{3} - \alpha) \]

• Представим аргумент \( \frac{2\pi}{3} - \alpha \) как \( \pi - (\frac{\pi}{3} + \alpha) \).
• \[ \text{ЛЧ} = \cos (\pi - (\frac{\pi}{3} + \alpha)) \]
• Применяем формулу приведения \( \cos (\pi - \beta) = -\cos \beta \).
• \[ \text{ЛЧ} = -\cos (\frac{\pi}{3} + \alpha) \]

\[ \text{ПЧ} = -\cos (\frac{\pi}{3} + \alpha) \]

Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.

Цель: Доказать тождество \( \cos (\alpha - \frac{2\pi}{3}) = \cos (\alpha + \frac{4\pi}{3}) \).

• Период косинуса \( 2\pi \). Представим \( \frac{4\pi}{3} \) как \( 2\pi - \frac{2\pi}{3} \).
• \[ \text{ПЧ} = \cos (\alpha + 2\pi - \frac{2\pi}{3}) \]
• Отбрасываем период \( 2\pi \):
  \[ \text{ПЧ} = \cos (\alpha - \frac{2\pi}{3}) \]

\[ \text{ЛЧ} = \cos (\alpha - \frac{2\pi}{3}) \]

Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.