Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 31 / Задание 526

ГДЗ: Упражнение 526 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 156, 159, 160, 161
Глава: Глава 5
Параграф: § 31 - Формулы приведения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

526 упражнение:

Вычислить с помощью формулы приведения (525–526).

1) \( \tg \frac{5\pi}{4} \)

Цель: Вычислить \( \tg \frac{5\pi}{4} \) с помощью формул приведения.

Шаг 1. Представление угла через \( \pi \).
  • Представим \( \frac{5\pi}{4} \) как \( \pi + \frac{\pi}{4} \): \( \tg \frac{5\pi}{4} = \tg (\pi + \frac{\pi}{4}) \).
Шаг 2. Применение формулы приведения.
  • Угол \( \pi + \frac{\pi}{4} \) находится в третьей четверти. Тангенс в третьей четверти положителен, поэтому ставим знак «+».
  • Угол содержит \( \pi \), функция не меняется.
  • Формула приведения: \( \tg (\pi + \frac{\pi}{4}) = +\tg \frac{\pi}{4} \).
Шаг 3. Вычисление.
  • Используем табличное значение \( \tg \frac{\pi}{4} = 1 \).
  • \( \tg \frac{5\pi}{4} = 1 \).

Ответ: \( 1 \)

2) \( \sin \frac{7\pi}{6} \)

Цель: Вычислить \( \sin \frac{7\pi}{6} \) с помощью формул приведения.

Шаг 1. Представление угла через \( \pi \).
  • Представим \( \frac{7\pi}{6} \) как \( \pi + \frac{\pi}{6} \): \( \sin \frac{7\pi}{6} = \sin (\pi + \frac{\pi}{6}) \).
Шаг 2. Применение формулы приведения.
  • Угол \( \pi + \frac{\pi}{6} \) находится в третьей четверти. Синус в третьей четверти отрицателен, поэтому ставим знак «-».
  • Угол содержит \( \pi \), функция не меняется.
  • Формула приведения: \( \sin (\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} \).
Шаг 3. Вычисление.
  • Используем табличное значение \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
  • \( \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( -\frac{1}{2} \)

3) \( \sin \frac{5\pi}{3} \)

Цель: Вычислить \( \sin \frac{5\pi}{3} \) с помощью формул приведения.

Шаг 1. Представление угла через \( 2\pi \).
  • Представим \( \frac{5\pi}{3} \) как \( 2\pi - \frac{\pi}{3} \): \( \sin \frac{5\pi}{3} = \sin (2\pi - \frac{\pi}{3}) \).
Шаг 2. Применение формулы приведения.
  • Угол \( 2\pi - \frac{\pi}{3} \) находится в четвертой четверти. Синус в четвертой четверти отрицателен, поэтому ставим знак «-».
  • Угол содержит \( 2\pi \), функция не меняется.
  • Формула приведения: \( \sin (2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} \).
Шаг 3. Вычисление.
  • Используем табличное значение \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  • \( \sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

4) \( \ctg \frac{5\pi}{3} \)

Цель: Вычислить \( \ctg \frac{5\pi}{3} \) с помощью формул приведения.

Шаг 1. Представление угла через \( 2\pi \).
  • Представим \( \frac{5\pi}{3} \) как \( 2\pi - \frac{\pi}{3} \): \( \ctg \frac{5\pi}{3} = \ctg (2\pi - \frac{\pi}{3}) \).
Шаг 2. Применение формулы приведения.
  • Угол \( 2\pi - \frac{\pi}{3} \) находится в четвертой четверти. Котангенс в четвертой четверти отрицателен, поэтому ставим знак «-».
  • Угол содержит \( 2\pi \), функция не меняется.
  • Формула приведения: \( \ctg (2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\ctg \frac{\pi}{3} \).
Шаг 3. Вычисление.
  • Используем табличное значение \( \ctg \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
  • \( \ctg \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \)

5) \( \sin (-\frac{13\pi}{6}) \)

Цель: Вычислить \( \sin (-\frac{13\pi}{6}) \) с помощью формул приведения.

Шаг 1. Использование нечетности синуса.
  • Синус – нечетная функция: \( \sin (-\alpha) = -\sin \alpha \).
  • \( \sin (-\frac{13\pi}{6}) = -\sin \frac{13\pi}{6} \).
Шаг 2. Использование периодичности.
  • Разложим \( \frac{13\pi}{6} \) как \( 2\pi + \frac{\pi}{6} \). Период синуса \( 2\pi \).
  • \( -\sin \frac{13\pi}{6} = -\sin (2\pi + \frac{\pi}{6}) \).
  • \( -\sin (2\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} \).
Шаг 3. Вычисление.
  • Используем табличное значение \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
  • \( \sin (-\frac{13\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( -\frac{1}{2} \)

6) \( \cos (-\frac{7\pi}{3}) \)

Цель: Вычислить \( \cos (-\frac{7\pi}{3}) \) с помощью формул приведения.

Шаг 1. Использование четности косинуса.
  • Косинус – четная функция: \( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \).
  • \( \cos (-\frac{7\pi}{3}) = \cos \frac{7\pi}{3} \).
Шаг 2. Использование периодичности.
  • Разложим \( \frac{7\pi}{3} \) как \( 2\pi + \frac{\pi}{3} \). Период косинуса \( 2\pi \).
  • \( \cos \frac{7\pi}{3} = \cos (2\pi + \frac{\pi}{3}) \).
  • \( \cos (2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} \).
Шаг 3. Вычисление.
  • Используем табличное значение \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).
  • \( \cos (-\frac{7\pi}{3}) = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \)

7) \( \tg (-\frac{2\pi}{3}) \)

Цель: Вычислить \( \tg (-\frac{2\pi}{3}) \) с помощью формул приведения.

Шаг 1. Использование нечетности тангенса.
  • Тангенс – нечетная функция: \( \tg (-\alpha) = -\tg \alpha \).
  • \( \tg (-\frac{2\pi}{3}) = -\tg \frac{2\pi}{3} \).
Шаг 2. Применение формулы приведения.
  • Разложим \( \frac{2\pi}{3} \) как \( \pi - \frac{\pi}{3} \).
  • \( -\tg \frac{2\pi}{3} = -\tg (\pi - \frac{\pi}{3}) \).
  • Угол \( \pi - \frac{\pi}{3} \) во второй четверти. Тангенс отрицателен: \( \tg (\pi - \frac{\pi}{3}) = -\tg \frac{\pi}{3} \).
  • Получаем: \( - (-\tg \frac{\pi}{3}) = \tg \frac{\pi}{3} \).
Шаг 3. Вычисление.
  • Используем табличное значение \( \tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).
  • \( \tg (-\frac{2\pi}{3}) = \sqrt{3} \).

Ответ: \( \sqrt{3} \)

8) \( \ctg (-\frac{7\pi}{4}) \)

Цель: Вычислить \( \ctg (-\frac{7\pi}{4}) \) с помощью формул приведения.

Шаг 1. Использование нечетности котангенса.
  • Котангенс – нечетная функция: \( \ctg (-\alpha) = -\ctg \alpha \).
  • \( \ctg (-\frac{7\pi}{4}) = -\ctg \frac{7\pi}{4} \).
Шаг 2. Использование периодичности.
  • Разложим \( \frac{7\pi}{4} \) как \( 2\pi - \frac{\pi}{4} \).
  • \( -\ctg \frac{7\pi}{4} = -\ctg (2\pi - \frac{\pi}{4}) \).
  • Угол \( 2\pi - \frac{\pi}{4} \) в четвертой четверти. Котангенс отрицателен: \( \ctg (2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\ctg \frac{\pi}{4} \).
  • Получаем: \( - (-\ctg \frac{\pi}{4}) = \ctg \frac{\pi}{4} \).
Шаг 3. Вычисление.
  • Используем табличное значение \( \ctg \frac{\pi}{4} = 1 \).
  • \( \ctg (-\frac{7\pi}{4}) = 1 \).

Ответ: \( 1 \)

Что применять при решении

Правило знака
Знак правой части формулы приведения соответствует знаку функции, стоящей в левой части, в той четверти, где находится аргумент левой части, при условии, что \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).
Например: \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \) (вторая четверть, синус положительный).
Правило изменения функции
Если угол в формуле приведения имеет вид \( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \) или \( \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \), функция меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс). Если угол имеет вид \( \pi \pm \alpha \) или \( 2\pi \pm \alpha \), функция не меняется.
Например: \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \) (косинус меняется на синус). \( \tan (\pi + \alpha) = \tan \alpha \) (тангенс не меняется).
Периодичность и четность/нечетность
Тригонометрические функции периодичны: \( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \), \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \). Функции синус, тангенс, котангенс — нечетные (\( f(-\alpha) = -f(\alpha) \)), косинус — четная (\( f(-\alpha) = f(\alpha) \)).
\( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \); \( \sin (\alpha - 2\pi) = \sin \alpha \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 31

524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.