Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 11 / Задание 1097

ГДЗ: Упражнение 1097 - Глава 11 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 333, 334, 335
Глава: Глава 11
Параграф: Глава 11 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1097 упражнение:

Вычислить:

1) \( \frac{7! - 5!}{5!} \)

Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.

  • Используем свойство факториала \( n! = n \cdot (n-1)! \).
  • Представим \( 7! \) как произведение \( 7 \cdot 6 \cdot 5! \).

    • Наше выражение примет вид: \( \frac{7 \cdot 6 \cdot 5! - 5!}{5!} \)

    Шаг 2. Вынесение общего множителя в числителе.

  • Общим множителем в числителе является \( 5! \).
  • Выносим его за скобки: \( \frac{5! (7 \cdot 6 - 1)}{5!} \)

    • Шаг 3. Сокращение и вычисление.

  • Сокращаем дробь на \( 5! \): \( 7 \cdot 6 - 1 \)
  • Вычисляем результат: \( 42 - 1 = 41 \)

    • Ответ: 41

    2) \( \frac{6! - 4!}{4!} \)

    Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.

  • Используем свойство факториала \( n! = n \cdot (n-1)! \).
  • Представим \( 6! \) как произведение \( 6 \cdot 5 \cdot 4! \).

    • Наше выражение примет вид: \( \frac{6 \cdot 5 \cdot 4! - 4!}{4!} \)

    Шаг 2. Вынесение общего множителя в числителе.

  • Общим множителем в числителе является \( 4! \).
  • Выносим его за скобки: \( \frac{4! (6 \cdot 5 - 1)}{4!} \)

    • Шаг 3. Сокращение и вычисление.

  • Сокращаем дробь на \( 4! \): \( 6 \cdot 5 - 1 \)
  • Вычисляем результат: \( 30 - 1 = 29 \)

    • Ответ: 29

    3) \( \frac{149! - 36!}{148! \cdot 35!} \)

    Шаг 1. Разделение дроби на две.

  • Разделим исходную дробь на сумму двух дробей: \( \frac{149!}{148! \cdot 35!} - \frac{36!}{148! \cdot 35!} \)

    • Шаг 2. Упрощение первой дроби.

  • Используем свойство \( n! = n \cdot (n-1)! \). Заменяем \( 149! \) на \( 149 \cdot 148! \).
  • Первая дробь: \( \frac{149 \cdot 148!}{148! \cdot 35!} = \frac{149}{35!} \)

    • Шаг 3. Упрощение второй дроби.

  • Используем свойство \( n! = n \cdot (n-1)! \). Заменяем \( 36! \) на \( 36 \cdot 35! \).
  • Вторая дробь: \( \frac{36 \cdot 35!}{148! \cdot 35!} = \frac{36}{148!} \)

    • Шаг 4. Сборка выражения.

  • Результат: \( \frac{149}{35!} - \frac{36}{148!} \)

    • Примечание: Исходное выражение \( \frac{149! - 36!}{148! \cdot 35!} \) не имеет простого числового ответа, в отличие от вариантов 1, 2, 4-6, где деление происходит на факториал, который является сомножителем. Если в задании допущена опечатка и оно должно выглядеть как \( \frac{149! \cdot 36!}{148! \cdot 35!} \) (произведение), то ответ был бы: \( \frac{149 \cdot 148! \cdot 36 \cdot 35!}{148! \cdot 35!} = 149 \cdot 36 = 5364 \). Однако, следуя точно заданному выражению, оставляем его без дальнейших громоздких вычислений.

    Ответ: \( \frac{149}{35!} - \frac{36}{148!} \) (или 5364, если в условии опечатка: \( \frac{149! \cdot 36!}{148! \cdot 35!} \) )

    4) \( \frac{97! + 35!}{96! \cdot 34!} \)

    Шаг 1. Разделение дроби на две.

  • Разделим исходную дробь на сумму двух дробей: \( \frac{97!}{96! \cdot 34!} + \frac{35!}{96! \cdot 34!} \)

    • Шаг 2. Упрощение первой дроби.

  • Используем свойство \( n! = n \cdot (n-1)! \). Заменяем \( 97! \) на \( 97 \cdot 96! \).
  • Первая дробь: \( \frac{97 \cdot 96!}{96! \cdot 34!} = \frac{97}{34!} \)

    • Шаг 3. Упрощение второй дроби.

  • Используем свойство \( n! = n \cdot (n-1)! \). Заменяем \( 35! \) на \( 35 \cdot 34! \).
  • Вторая дробь: \( \frac{35 \cdot 34!}{96! \cdot 34!} = \frac{35}{96!} \)

    • Шаг 4. Сборка выражения.

  • Результат: \( \frac{97}{34!} + \frac{35}{96!} \)

    • Ответ: \( \frac{97}{34!} + \frac{35}{96!} \)

    5) \( \frac{4! \cdot 8!}{6! \cdot 7!} \)

    Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.

  • Разложим \( 6! \) на \( 6 \cdot 5 \cdot 4! \) и \( 8! \) на \( 8 \cdot 7! \).

    • Выражение примет вид: \( \frac{4! \cdot 8 \cdot 7!}{6 \cdot 5 \cdot 4! \cdot 7!} \)

    Шаг 2. Сокращение.

  • Сокращаем на \( 4! \) и на \( 7! \).

    • Остается: \( \frac{8}{6 \cdot 5} \)

    Шаг 3. Вычисление.

  • Вычисляем результат: \( \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \)

    • Ответ: \( \frac{4}{15} \)

    6) \( \frac{9! \cdot 5!}{7! \cdot 6!} \)

    Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.

  • Разложим \( 9! \) на \( 9 \cdot 8 \cdot 7! \) и \( 6! \) на \( 6 \cdot 5! \).

    • Выражение примет вид: \( \frac{9 \cdot 8 \cdot 7! \cdot 5!}{7! \cdot 6 \cdot 5!} \)

    Шаг 2. Сокращение.

  • Сокращаем на \( 7! \) и на \( 5! \).

    • Остается: \( \frac{9 \cdot 8}{6} \)

    Шаг 3. Вычисление.

  • Вычисляем результат: \( \frac{72}{6} = 12 \)

    • Ответ: 12

    Что применять при решении

    Факториал
    Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.
    \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).
    Размещения
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.
    \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
    Сочетания
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.
    \( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство числа сочетаний (Сложение)
    Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.
    \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)
    Формула бинома Ньютона
    Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.
    \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)
    Общий член бинома Ньютона
    Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).
    \( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа Глава 11

    1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.