Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 11 / Задание 1109

ГДЗ: Упражнение 1109 - Глава 11 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 333, 334, 335
Глава: Глава 11
Параграф: Глава 11 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1109 упражнение:

Найти значение выражения, предварительно его упростив:

1) \( C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 \)

Шаг 1. Применение свойства суммы сочетаний.

  • Сумма всех сочетаний равна \( 2^n \): \( C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n = 2^n \).
  • Исходное выражение - это сумма сочетаний \( C_4^k \) для \( k=1, 2, 3, 4 \).
  • Чтобы получить полную сумму \( 2^4 \), не хватает слагаемого \( C_4^0 \).

    • Шаг 2. Вычисление.

  • Полная сумма: \( C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 2^4 = 16 \).
  • \( C_4^0 = 1 \).
  • Искомая сумма: \( 2^4 - C_4^0 = 16 - 1 = 15 \)

    • Ответ: 15

    2) \( C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 \)

    Шаг 1. Применение свойства суммы сочетаний.

  • Полная сумма: \( C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 2^5 = 32 \).
  • Исходное выражение: \( \left( \sum_{k=0}^{5} C_5^k \right) - C_5^0 - C_5^1 \)

    • Шаг 2. Вычисление.

  • \( C_5^0 = 1 \).
  • \( C_5^1 = 5 \).
  • Искомая сумма: \( 32 - 1 - 5 = 26 \)

    • Ответ: 26

    3) \( C_6^4 + C_6^5 + C_7^6 + C_7^7 \)

    Шаг 1. Группировка слагаемых по свойству сложения \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \).

  • \( (C_6^4 + C_6^5) + (C_7^6 + C_7^7) \)
  • Первая скобка: \( C_6^4 + C_6^5 = C_7^5 \).
  • Вторая скобка: \( C_7^6 + C_7^7 = C_8^7 \).
  • Выражение: \( C_7^5 + C_8^7 \)

    • Шаг 2. Вычисление сочетаний.

  • \( C_7^5 = C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21 \).
  • \( C_8^7 = C_8^1 = 8 \).

    • Шаг 3. Вычисление суммы.

  • \( C_7^5 + C_8^7 = 21 + 8 = 29 \)

    • Ответ: 29

    4) \( C_6^6 + C_6^5 + C_7^6 + C_8^7 \)

    Шаг 1. Группировка слагаемых по свойству сложения.

  • \( (C_6^5 + C_6^6) + C_7^6 + C_8^7 \)
  • \( C_6^5 + C_6^6 = C_7^6 \).
  • Выражение: \( C_7^6 + C_7^6 + C_8^7 \)
  • Группируем дальше: \( C_7^6 + (C_7^6 + C_8^7) \). Это неверно, так как \( n \) должно быть одинаковым.

    • Шаг 2. Последовательное применение свойства сложения.

  • \( C_6^5 + C_6^6 = C_7^6 \)
  • Выражение: \( C_7^6 + C_7^6 + C_8^7 \)
  • \( 2C_7^6 + C_8^7 \)

    • Шаг 3. Вычисление сочетаний.

  • \( C_7^6 = C_7^1 = 7 \).
  • \( C_8^7 = C_8^1 = 8 \).

    • Шаг 4. Вычисление суммы.

  • \( 2 \cdot 7 + 8 = 14 + 8 = 22 \)

    • Ответ: 22

    5) \( C_{12}^2 + C_{12}^3 + C_{13}^4 + C_{14}^5 \)

    Шаг 1. Последовательное применение свойства сложения \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \).

  • \( C_{12}^2 + C_{12}^3 = C_{13}^3 \).
  • Выражение: \( C_{13}^3 + C_{13}^4 + C_{14}^5 \).
  • Снова применяем свойство сложения: \( C_{13}^3 + C_{13}^4 = C_{14}^4 \).
  • Выражение: \( C_{14}^4 + C_{14}^5 \).
  • Снова применяем свойство сложения: \( C_{14}^4 + C_{14}^5 = C_{15}^5 \).

    • Шаг 2. Вычисление \( C_{15}^5 \).

  • \( C_{15}^5 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \)
  • \( \frac{15}{5 \cdot 3} = 1 \). \( \frac{12}{4} = 3 \). \( \frac{14}{2} = 7 \).
  • \( 1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 11 = 21 \cdot 143 = 3003 \)

    • Ответ: \( 3003 \)

    6) \( C_{6}^{3} + C_{10}^{5} + C_{6}^{4} + C_{10}^{6} + C_{11}^{6} \)

    Шаг 1. Перегруппировка слагаемых и применение свойства сложения.

  • Перегруппируем: \( (C_6^3 + C_6^4) + (C_{10}^5 + C_{10}^6) + C_{11}^6 \)
  • Первая скобка: \( C_6^3 + C_6^4 = C_7^4 \).
  • Вторая скобка: \( C_{10}^5 + C_{10}^6 = C_{11}^6 \).
  • Выражение: \( C_7^4 + C_{11}^6 + C_{11}^6 = C_7^4 + 2 C_{11}^6 \)

    • Шаг 2. Вычисление сочетаний.

  • \( C_7^4 = C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \).
  • \( C_{11}^6 = C_{11}^5 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 462 \).

    • Шаг 3. Вычисление суммы.

  • \( 35 + 2 \cdot 462 = 35 + 924 = 959 \)

    • Ответ: 959

    7) \( C_{21}^{20} - C_{20}^{19} \)

    Шаг 1. Упрощение слагаемых.

  • Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \).
  • \( C_{21}^{20} = C_{21}^1 = 21 \).
  • \( C_{20}^{19} = C_{20}^1 = 20 \).

    • Шаг 2. Вычисление разности.

  • \( 21 - 20 = 1 \)

    • Ответ: 1

    8) \( C_{25}^{24} - C_{24}^{22} \)

    Шаг 1. Упрощение слагаемых.

  • Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \).
  • \( C_{25}^{24} = C_{25}^1 = 25 \).
  • \( C_{24}^{22} = C_{24}^{24-22} = C_{24}^2 = \frac{24 \cdot 23}{2} = 12 \cdot 23 = 276 \).

    • Шаг 2. Вычисление разности.

  • \( 25 - 276 = -251 \)

    • Ответ: -251

    9) \( C_{10}^9 - C_{14}^{14} \)

    Шаг 1. Упрощение слагаемых.

  • Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \): \( C_{10}^9 = C_{10}^1 = 10 \).
  • Используем свойство \( C_n^n = 1 \): \( C_{14}^{14} = 1 \).

    • Шаг 2. Вычисление разности.

  • \( 10 - 1 = 9 \)

    • Ответ: 9

    10) \( C_{19}^{10} - C_{14}^{15} \)

    Шаг 1. Упрощение слагаемых.

  • \( C_{19}^{10} \) вычисляется по формуле \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), \( C_{19}^{10} = 92378 \).
  • Используем определение сочетаний: \( C_n^k = 0 \) при \( k > n \).
  • В \( C_{14}^{15} \) имеем \( 15 > 14 \), следовательно, \( C_{14}^{15} = 0 \).

    • Шаг 2. Вычисление разности.

  • \( C_{19}^{10} - 0 = C_{19}^{10} \).
  • Примем, что требуется только упрощение, а не числовое вычисление, если только оно не сводится к простому числу.

    • Ответ: \( C_{19}^{10} \) (или \( 92378 \) )

    11) \( C_{13}^7 - C_{13}^{12} \)

    Шаг 1. Упрощение второго слагаемого.

  • Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \): \( C_{13}^{12} = C_{13}^1 = 13 \).

    • Шаг 2. Упрощение первого слагаемого.

  • \( C_{13}^7 \) не имеет простого упрощения. \( C_{13}^7 = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 = 1716 \).

    • Шаг 3. Вычисление разности.

  • \( 1716 - 13 = 1703 \)

    • Ответ: 1703

    12) \( C_{13}^{13} - C_{13}^{12} \)

    Шаг 1. Упрощение слагаемых.

  • Используем свойство \( C_n^n = 1 \): \( C_{13}^{13} = 1 \).
  • Используем свойство \( C_n^{n-1} = n \): \( C_{13}^{12} = 13 \).

    • Шаг 2. Вычисление разности.

  • \( 1 - 13 = -12 \)

    • Ответ: -12

    Что применять при решении

    Факториал
    Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.
    \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).
    Размещения
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.
    \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
    Сочетания
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.
    \( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство числа сочетаний (Сложение)
    Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.
    \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)
    Формула бинома Ньютона
    Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.
    \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)
    Общий член бинома Ньютона
    Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).
    \( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа Глава 11

    1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.