Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 11 / Задание 1099

ГДЗ: Упражнение 1099 - Глава 11 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 333, 334, 335
Глава: Глава 11
Параграф: Глава 11 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1099 упражнение:

Найти значение выражения:

1) \( \frac{A_5^3}{P_4} \)

Шаг 1. Определение формул размещений и перестановок.

  • Число размещений: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
  • Число перестановок: \( P_n = n! \)

    • Шаг 2. Вычисление числителя \( A_5^3 \).

  • \( A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} \)
  • \( \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)

    • Шаг 3. Вычисление знаменателя \( P_4 \).

  • \( P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \)

    • Шаг 4. Вычисление итогового выражения.

  • \( \frac{A_5^3}{P_4} = \frac{60}{24} \)
  • Сокращаем дробь: \( \frac{60}{24} = \frac{5 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{5}{2} = 2,5 \)

    • Ответ: \( 2,5 \)

    2) \( \frac{A_8^4}{P_4} \)

    Шаг 1. Определение формул размещений и перестановок.

  • Число размещений: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
  • Число перестановок: \( P_n = n! \)

    • Шаг 2. Вычисление числителя \( A_8^4 \).

  • \( A_8^4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!} \)
  • \( \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680 \)

    • Шаг 3. Вычисление знаменателя \( P_4 \).

  • \( P_4 = 4! = 24 \)

    • Шаг 4. Вычисление итогового выражения.

  • \( \frac{A_8^4}{P_4} = \frac{1680}{24} \)
  • \( \frac{1680}{24} = 70 \)

    • Примечание: Можно заметить, что \( \frac{A_n^k}{P_k} = \frac{n! / (n-k)!}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = C_n^k \). В данном случае, \( \frac{A_8^4}{P_4} = C_8^4 = 70 \).

    Ответ: 70

    3) \( \left( \frac{C_{11}^5}{C_{11}^4} - 3 \right) \cdot P_5 \)

    Шаг 1. Упрощение отношения \( \frac{C_n^k}{C_n^{k-1}} \).

  • Используем свойство: \( \frac{C_n^k}{C_n^{k-1}} = \frac{n-k+1}{k} \).
  • Для \( \frac{C_{11}^5}{C_{11}^4} \) имеем \( n=11 \) и \( k=5 \).
  • \( \frac{C_{11}^5}{C_{11}^4} = \frac{11-5+1}{5} = \frac{7}{5} \)

    • Шаг 2. Вычисление выражения в скобках.

  • \( \frac{7}{5} - 3 = \frac{7}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{8}{5} \)

    • Шаг 3. Вычисление \( P_5 \).

  • \( P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \)

    • Шаг 4. Умножение.

  • \( \left( -\frac{8}{5} \right) \cdot 120 = -8 \cdot \frac{120}{5} = -8 \cdot 24 = -192 \)

    • Ответ: -192

    4) \( \frac{P_6}{P_5} - \frac{P_4}{P_3} \)

    Шаг 1. Упрощение первой дроби \( \frac{P_6}{P_5} \).

  • \( \frac{P_6}{P_5} = \frac{6!}{5!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6 \)

    • Шаг 2. Упрощение второй дроби \( \frac{P_4}{P_3} \).

  • \( \frac{P_4}{P_3} = \frac{4!}{3!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} = 4 \)

    • Шаг 3. Вычисление итогового выражения.

  • \( 6 - 4 = 2 \)

    • Ответ: 2

    5) \( \frac{C_7^{10}}{3} + 6 \cdot \frac{C_7^6}{P_4} \)

    Шаг 1. Анализ первого слагаемого \( \frac{C_7^{10}}{3} \).

  • Число сочетаний \( C_n^k \) определено только при \( k \le n \).
  • В данном случае \( k=10 \) и \( n=7 \), поэтому \( C_7^{10} = 0 \).
  • Первое слагаемое равно 0.

    • Шаг 2. Вычисление второго слагаемого \( 6 \cdot \frac{C_7^6}{P_4} \).

  • Вычисление \( C_7^6 \): Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \).
  • \( C_7^6 = C_7^{7-6} = C_7^1 = 7 \)
  • Вычисление \( P_4 \): \( P_4 = 4! = 24 \)
  • Итоговое выражение: \( 6 \cdot \frac{7}{24} \)

    • Шаг 3. Упрощение.

  • \( 6 \cdot \frac{7}{24} = \frac{6 \cdot 7}{24} = \frac{42}{24} = \frac{7}{4} = 1,75 \)

    • Шаг 4. Сборка результата.

  • \( 0 + \frac{7}{4} = 1,75 \)

    • Ответ: \( 1,75 \)

    6) \( \frac{P_4}{A_6^4} \)

    Шаг 1. Определение формул перестановок и размещений.

  • Число перестановок: \( P_4 = 4! = 24 \)
  • Число размещений: \( A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} \)

    • Шаг 2. Вычисление \( A_6^4 \).

  • \( A_6^4 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360 \)

    • Шаг 3. Вычисление итогового выражения.

  • \( \frac{P_4}{A_6^4} = \frac{24}{360} \)
  • Сокращаем дробь: \( \frac{24}{360} = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \)

    • Ответ: \( \frac{1}{15} \)

    Что применять при решении

    Факториал
    Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.
    \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).
    Размещения
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.
    \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
    Сочетания
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.
    \( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство числа сочетаний (Сложение)
    Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.
    \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)
    Формула бинома Ньютона
    Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.
    \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)
    Общий член бинома Ньютона
    Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).
    \( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа Глава 11

    1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.